李阳

摘要：似然比统计量是比较常用的检验统计量。其基本假设是数据服从正态分布，基于极大似然估计得到统计量的基本形式。其对正态分布下数据位置参数和尺度参数的监测效果较好，但对于非正态分布下的具体表现不得而知。在此将似然比统计量与EWMA结合，并比较分析似然比统计量在不同分布下检测位置参数和尺度参数的表现。

Abstract： The likelihood ratio statistic is the most common test statistic. The basic assumption is that the data is obtained from the normal distribution and the basic form of the statistic is obtained based on the maximum likelihood estimation（MLE）. The monitoring effect of the data location parameters and scale parameters under normal distribution is good， but the concrete performance of the data under non-normal distribution is not known. In this paper， the likelihood ratio statistic is combined with EWMA， and the performances of the location parameters and the scale parameters of the likelihood ratio statistics under different distributions are compared and analyzed.

关键词：似然比统计量;统计过程控制;指数加权移动平均

Key words： likelihood ratio statistic;SPC;EWMA

中图分类号：O212，O213.1                             文献标识码：A                                  文章编号：1006-4311（2020）03-0195-02

0  引言

统计过程控制（statistic process control，SPC）被广泛地用于各领域中，用于监测产品生产或服务过程的状态是否正常。现存的很多控制图都假设数据服从正态分布，似然比统计量就是如此。然而在实际过程中数据并不一定服从正态分布，因此对控制图在非正态分布下的表现进行分析评估显得尤为重要。

目前，基于似然比检验提出的控制图被用于各种情况下。Zhang[1]（2002）基于对数似然比提出了一个用参数化方法估计有效GOF检验的控制图。Zou[2]（2010）在Zhang的基础上进行改进，提出了一个无分布EWMA控制图。YEH[3]（2004）提出了一个基于似然比和EMWA的控制图，用于监测多元正态过程。代毅等[4]（2006）基于似然比统计量提出了一个预分析累积和控制图。

似然比统计量在统计过程控制领域比较常用。然而，对于不同分布下使用似然比統计量监测位置参数和尺度参数的分析没有现成文献。本文在此进行了这一部分的工作。

1  似然比检验控制图

似然比检验统计量（likelihood ratio test statistic，LRT）是基于极大似然估计得到的统计量形式。首先，假设第k个样本大小为n，表示为Xk1…，Xkn，这些数值是来自于样本X的随机样本，且X是一个连续型随机变量，概率密度函数表示为 f（x，μ，σ2）。则样本平均值可以表示为 。似然函数为：L（xk1…，xkn，μ，σ2）。在此假设X 服从正态分布，检验假设H0：μ=μ0，σ2=σ02  H1：μ≠μ0， σ2≠σ02。似然函数表示为：

2  表现评估

通过仿真，受控平均运行长度（IC ARL）设置为370。所有ARL的值是10000次仿真的平均值。本文采用随机模拟法来计算ARL。通常控制限通过仿真实验得到，选取控制限时使用二分法可以较快的得到控制限的值。本部分列出了LRT控制图在各种分布下的表现结果，包括：正态分布，x2（3）分布以及学生t（3）分布。

从表 1可以看出，似然比控制图对于位置参数的监测速度与其偏移方向没有关系。位置参数或尺度参数偏移量些微的增加都会使得监测速度提高很多。由表2中的结果对x2（3）分布下的表现进行分析。LRT对x2（3）分布数据的监测速度明显低于正态分布下。表3中t（3）分布下的结果，相同位置参数和尺度参数偏移量下其监测速度还要远远慢于x2（3）分布。

3  结论

本文介绍了基于似然比检验统计量的似然比控制图。此图在正态分布下可用于同时监测位置参数和尺度参数，且表现良好;在非正态分布下表现一般，需要特别注意的是，其非常不适用于学生t分布。

参考文献：

[1]Zhang， J."Powerful Goodness-of-Fit Tests Based on Likelihood Ratio"[J]. Journal of the Rayal Statistical Society， Series B.2002，64：281-294.

[2]ZOU C L， Fugee Tsung. Likelihood Ratio-Based Distribution-Free EWMA Control Charts[J]. Journal of Quality Technology， 2010， 42（2）：174-196.

[3]ARTHUR B. YEH LONGCHEEN HUWANG and YU-FANG WU. A likelihood-ratio-based EWMA control chart for monitoring variability of multivariate normal processes[J]. IIE Transactions， 2004， 36（9）：865-879.

[4]代毅，王兆军，邹长亮.基于似然比统计量的预分析累积和控制图[J].中国科学（A辑 数学），2006（9）：984-1000.