摘要：本文提供了曲率的示范课设计思路，融入极限思想和数学建模思想，并给出了示教过程，对广大的高校教师在曲率的教学方面起到了一个抛砖引玉的作用。

关键词：曲率;数学建模;极限思想

曲率大家并不陌生，然而，想真正上好曲率这节课却并不是很简单，经常容易陷入单纯推导公式和做题的尴尬境地。本文在借鉴了前人课程设计[1]的基础上做了深入探讨，并给出曲率的示范课设计。

1 提出问题

火车是常用的交通工具，当火车在直道上行驶时，不产生向心力，而火车在圆弧弯道上行驶时会产生较大的向心力mv2R（其中m：火车的质量;v：火车的速度;R：圆弧的半径），如果火车直接由直道进入圆弧弯道，向心力就会由0突变到mv2R，因此容易导致事故的发生。为了行驶安全可以接入一段缓和曲线在直道和圆弧弯道之间，问：接入缓和曲线的原理是什么？缓和曲线的方程如何表示？

这些问题的回答都和曲线的弯曲程度有关，那如何刻画曲线的弯曲程度呢？

2 分析问题[2]

一般的曲线在不同点处有不同的弯曲程度，因此，需要引入一个刻画曲线上任意点处弯曲程度的量。观察发现，在点的小邻域内，任意点的弯曲程度近似相等，因此可以借鉴求瞬时速度的方法，先求出平均弯曲程度，再求一点处的弯曲程度。通过下面的实验说明和平均弯曲程度有关的量。

结论1：弧长相同，弧段的弯曲程度增加，切线转角增加，即两者成正比;

结论2：切线转角相同，弧段长度减少，弯曲程度增加，即两者成反比。

下面刻画弧段MM′弯曲程度的平均值。

假设C是一段光滑的曲线，M0是度量弧长s的基点，规定曲线的正向是x增大的方向，M是曲线上任意一点，有向弧段M0M的值s规定如下：M0M=s;M0M的方向与曲线的正向一致时s>0，相反时s<0。显然，s是x的单调增函数。

由结论1、2可知，可以用单位弧段上切线转角的大小来刻画弧段MM′的平均弯曲程度，由于曲线的弯曲程度和弯曲方向无关，所以，记MM′的平均弯曲程度K-=ΔαΔs，称之为平均曲率。根据前面的分析，如果平均弯曲程度的极限状态存在，这个极限值就是曲线在点M处的曲率，记为K，K=limΔs→0ΔαΔs。

下面计算一下图4的曲率。

练习：求半径为R的圆上任一点的曲率。

解：Δs=R·Δα，K=limΔs→0ΔαΔs=1R

结论：圆上任一点的曲率相同。R越大，圆弧弯曲的越小;R越小，圆弧弯曲的越大。

为了更好地解决一般曲线在任意点的曲率问题，这里有必要讨论利于计算的曲率的计算公式。

如图3，曲线C的方程为y=f（x），该函数二阶可导，点M处曲线的曲率为K，K=limΔs→0ΔαΔs=limΔs→0ΔαΔs=dαds

由前面学习的结果可知ds=1+y′2dx，下面讨论dα。

由图3可知，tanα=y′，则α=arctany′，dα=11+y′2·y″dx。将ds，dα代入K=dαds，得直角坐标系下曲率的计算公式K=y″（1+y′2）32。

在实际问题中，曲线的形式是多种多样的，方程也不一定是直角坐标系下的方程，思考：当曲线的形式是参数方程、极坐标方程时曲率的计算公式如何？

练习：求曲线y=ax2+bx+c上曲率最大的点。

结论：抛物线上曲率最大的点是抛物线的顶点，且顶点处的曲率K=2a，a是二次项的系数。

上面已经得到刻画曲线弯曲程度的量，也可以计算曲率了，但是给定一个点处的曲率为0.5，能否想象得到该点的弯曲程度呢？如果给定一个圆的半径为2厘米，则很容易想到该圆每点处的弯曲程度。因此，为了更好地理解曲率和应用曲率解决实际问题，下面引入曲率圆和曲率半径的概念。

3 曲率圆和曲率半径

如图5，设曲线C是光滑的，在点M（x，y）处，曲线y=f（x）的曲率为K（K≠0），在点M处曲线的法线上，在凹的一侧取一点D，使得DM=1K=ρ。则有如下概念：

点M处的曲率圆：以D为圆心，以ρ为半径的圆;曲率中心：D;曲率半径：ρ。

在点M附近，曲率圆及曲线之间有很大的相似之处：

（1）共同切线;（2）凹向相同;（3）曲率相同。

应用：在实际应用中，当点M附近的曲线研究起来比较复杂时，通常会用该点处的曲率圆弧来取代，以简化实际问题。

4 解决问题

分析：问题一，接入缓和曲线的原理是什么？

如果火车直接由直道进入圆弧弯道，向心力由0突变到mv2R，其数学本质是轨道在接入点O处曲线的曲率由0突变到1R（直线的曲率是0，圆弧在点O的曲率是1R）。因此，接入一段缓和曲线于直道与圆弧彎道之间，其目的是为了让曲率连续的由0变到1R，图6中OA为缓和曲线。

问题二：缓和曲线的方程如何表示？

（1）模型分析。根据《铁路设计规范》技术要求，缓和曲线应该比较简单，长度较短，且使得接入点O和A处的曲率连续变化。

（2）模型建立。如图6建立直角坐标系，接入点O为坐标原点，直线轨道所在的直线为x轴，OA的长度为l，OA的方程为y=f（x），接入点A的坐标设为A（x0，y0），AB是圆弧，半径为R，方程为y=g（x）。

（3）模型求解。缓和曲线满足的条件：

f（0）=0，f（x0）=g（x0），f′（0）=0，f″（0）=0，KA=1R。

根据要求，缓和曲线的设计要简单一点，即满足条件f（0）=0，f′（0）=0，f″（0）=0，又比较简单的曲线，可以设f（x）=ax3+bx2+cx+d。

根据条件计算可得f（x）=ax3，又因为缓和曲线在O和A处的曲率是连续变化，易得Kf=6ax1+9a2x432，容易看出KO=0，下面关键就是在接入点A处使曲率KA=6ax01+9a2x4032能够连续的变化到1R，又因为缓冲曲线的设计一般比较短，则x0相对来说比较小，于是9a2x40可以忽略不计，则KA≈6ax0=y″（x0），x0是未知的，当缓和曲线较短时，l≈x0，则KA≈6al，又A是圆弧弯道上的点，所以KA=1R，即1R≈6al，a≈±16Rl，根据这里建立的坐标系，a取正，综上可得缓和曲线的方程：y≈x36Rl。

5 结论

综上所述，在得到了缓和曲线在A处的曲率KA=6ax01+9a2x4032时，由于考虑到缓和曲线比较短，因此直接忽略了9a2x40这一项，因此KA≈6ax0=y″（x0），由于曲率的计算公式为K=y″（1+y′2）32，因此，实际上是把y′忽略了。事实上，在一些现实问题中，当y′和1比起来比较小时，y′可以忽略，即有曲率的近似计算公式K≈y″。有了这样的简化，对于一些比较复杂的问题处理起来就要容易一些。

参考文献：

[1]张聪，孙莉敏，等.关于曲率的教学设计[J].高师理科学刊，2017，9：6668.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].第七版.北京：高等教育出版社，2014：169173.

作者简介：王佳颖（1987—），女，陕西咸阳人，硕士，讲师，主要从事数学教学和数学建模方面的研究。