刘鑫

摘要：

为分析初应力对复合材料圆柱壳结构双稳态特性的影响，采用经典板壳理论建立复合材料圆柱壳力学模型，基于层合结构本构关系推导用双参数表达的系统应变能公式;根据最小势能原理得到双稳态产生的条件和稳态时的曲率表达式。利用Abaqus软件构建圆柱壳的有限元模型，通过附加边界弯矩对柱壳稳态跃迁过程进行模拟。理论计算结果与有限元结果的对比验证理论模型的正确性。分析结果表明：当初应力满足一定条件时，复合材料柱壳结构在其变形过程中有2个稳定平衡位置，并且在稳定平衡位置结构都不产生扭转变形;2个稳定平衡位置的曲率方向可以相同或相反，这与无初应力时反对称复合材料柱壳双稳态曲率方向只能相同的情况有区别。

关键词：

初应力; 复合材料; 柱壳结构; 双稳态; 曲率; 应变能; 有限元

中图分类号：  V414.41; TB115.1

文献标志码：  B

Bistability behaviors of initially stressed composite

cylindrical shell structure

LIU Xin

（School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics， Tongji University， Shanghai 200092， China）

Abstract：

To analyze the influence of initial stress on the bistability behaviors of composite cylindrical shell structure， the mechanical model of composite cylindrical shell is established using classical plate and shell theory. Based on the constitutive relation of laminated structure， the system strain energy formula with two parameters is derived. According to the principle of minimum potential energy， the condition of bistability and the expression of curvature in steady state are obtained. The finite element  model of cylindrical shell structure is established by Abaqus software， and the stability transition process is simulated using additional boundary bending moment. The correctness of the theoretical model is verified by the comparison between the theoretical calculation results and the finite element results. The analysis results show that， when the initial stress satisfies certain conditions， there are two stability equilibrium points in the deformation process of composite cylindrical shell structure， and there is no torsion deformation at the two points. The curvature directions at the two stability

equilibrium points can be same or opposite， which is different from the case that the bistability curvature of antisymmetric composite cylindrical shell can only be the same without initial stress.

Key words：

initial stress; composite material; cylindrical shell structure; bistability; curvature; strain energy; finite element

0 引 言

作為一种新型的空间可展开结构，双稳态结构在土木工程和航空航天领域具有广泛的应用前景。[14]双稳态柱壳结构具有特殊的力学性能，在其运动范围内具有2个稳定平衡位置。通常，柱壳结构在被卷拢时处于高应变能的不稳定状态，需要较大尺寸的约束结构才能保持稳定，而利用双稳态特性则可减少或避免使用这种约束装置，从而减轻结构的总质量。通过使用压电材料贴层，可以驱动柱壳结构进行稳态跃迁，实现对柱壳结构的稳态控制。[5]目前，针对柱壳结构双稳态现象的研究已引起众多学者的关注。[67]

双稳态结构性能研究主要涉及复合材料结构研究。英国剑桥大学工程系可延展结构实验室率先研究双稳态复合材料结构及其应用。[8]复合材料圆柱壳可以存在2个稳定平衡状态，但最终的稳态构型受复合材料铺层方式影响：正对称铺层的层合柱壳在卷曲过程中产生扭转变形，反对称铺层可以避免这种扭转变形。近年来，一些研究表明：各向同性材料在一定条件下也存在双稳态现象，并且柱壳结构上的初应力对各向同性圆柱壳的双稳态特性产生影响。[910]本文研究力学性能较优越的复合材料圆柱壳受初应力影响时的双稳态特性。为避免扭转变形的影响，复合材料圆柱壳选用反对称铺层方式。研究结果表明，对于有初应力的复合材料圆柱壳，当初应力满足一定条件时，柱壳为双稳态结构，且2个稳定状态对应的曲率方向可以相反或相同。这一结论与无初应力反对称铺层复合材料柱壳的双稳态曲率方向只能相同的情况有所不同。

1 复合材料本构关系

使用经典板壳理论对复合材料圆柱壳结构进行分析，并进行如下假定：（1）柱壳为薄壳;（2）柱壳处于平面应力状态;（3）变形前垂直于中面的法线，变形后仍为直线且垂直于变形后的中面;（4）柱壳变形均为线弹性;（5）柱壳中面无应变;（6）任意时刻中面内各点曲率均相同。

由假定（5）可知，柱壳中面不产生应变，故只需考虑弯矩的影响。根据经典层合板理论，柱壳结构内力矩与曲率的关系可以表示为

2 含初应力的柱壳模型

柱壳模型的几何参数有纵向长度L、厚度t和圆心角α。在自然坐标系中，x轴为柱壳纵向方向，y轴为柱壳横向方向，z轴为厚度方向。在柱壳初始状态时，x轴方向存在初应力，其对应的单位长度上的弯矩大小为Mox，且Mox<0。根据假定（6），柱壳中面上任意一点都

可以作为自然坐标原点，假定柱壳曲率与弯矩方向一致，即正弯矩对应正曲率，那么柱壳初始曲率

根据假定（5），柱壳在变形过程中时刻保持高斯曲率为0[8]，因此对于柱壳所有可能的变形状态，必定存在一个潜在的圆柱与之对应。通常，用2个参数描述柱壳：一个是潜在柱壳的曲率C，另一个是夹角θ。柱壳变形示意见图2。

柱壳初始形状对应θ=0，变形后柱壳曲率和扭率与参数C和θ的对应关系为

4 算例分析

算例选取玻璃纤维/环氧树脂基底复合材料，以铺设角为[45/-45/0/45/-45]的5层反对称铺设构成圆柱壳结构。复合材料单层厚度均为0.21 mm，初始曲率koy=1.0 m-1。材料属性参数[8]取E1=27.60 GPa，E2=2.60 GPa，

当Mox=-1.5 N时，根据式（10）和（19），可计算得到柱壳单位面积的应变能随参数

C和θ变化的分布。双稳态柱壳结构单位面积应变能分布见图3，图中的曲线为单位面积应变能等值线，

等值线上的数值单位为N/m。

由图3可知，此时柱壳单位面积应变能有2个极小值，对应柱壳2个稳态形状，稳态半径分别为

柱壳单位面积应变能随参数C和θ变化的分布见图4。

此时，单位面积应变能只有1个极小值，对应柱壳结构的初始状态，未出现双稳态现象。

5 有限元模拟

为验证理论计算结果的正确性，采用Abaqus软件对含初应力的复合材料圆柱壳进行有限元模拟，具体过程如下。

（1）创建圆柱壳几何模型。因柱壳结构的厚度相对于长度尺寸较小，故使用常规二维壳模型模拟柱壳中面，以降低计算复杂度。柱壳模型纵向长度L=3.0 m，圆心角α=180°。

（2）添加材料属性和创建复合材料截面。采用玻璃纤维/环氧树脂基底复合材料

，5层铺设角度为[45/-45/0/45/-45]，

复合材料的单层厚度为0.21 mm。

（3）创建分析步。柱壳结构从第一稳态跳跃到第二稳态需要附加弯矩。第一分析步附加弯矩将柱壳展平，第二分析步卸载附加弯矩到达第二稳态。分析步总长为1，初始步长为0.1，最小步长增量为1.0×10-30。

（4）定义载荷和边界条件。为限制柱壳自由运动，取柱壳中心6个自由度方向的运动为0，即该点被固定，附加弯矩以

Mox≈-D12koy估算。

（5）划分网格。采用S4R单元对柱壳进行网格划分，并自动生成网格模型，得到960个网格单元。

当初应力Mox=-1.5 N时，柱壳结构的稳态跃迁过程见图5。图5（a）对应第一稳态，即柱壳初始状态;图5（b）对应柱壳在附加弯矩作用下的展平状态;

由于初应力的存在，柱壳在展平后会自动向另一个方向弯曲，图5（c）对应柱壳反向弯曲状态;图5（d）对应第二稳态。

为研究初应力对第二稳态半径的影响，采用不同Mox值进行理论计算和有限元数值模拟，并将结果进行对比，见表1。有限元模拟得到的稳态半径与理论计算结果吻合较好。

6 结 论

利用经典板壳理论和最小应变能原理，对含初应力的复合材料圆柱壳的双稳态特性进行研究。在推导双参数应变能模型的基础上，给出考虑初应力时双稳态现象产生的条件和稳态曲率表达式。通过理论模型算例与有限元计算结果对比，验证本文计算方法的正确性，为进一步构造双稳态柱壳结构和评估其双稳态性能提供参考。

分析结果表明：对于反对称铺设的复合材料圆柱壳结构，当初应力满足

Mox<-D12koy时，柱壳结构在其变形过程中有2个稳定平衡位置，且第一个稳定平衡位置对应柱壳的初始状态，2个稳态对应的曲率方向相反，这与无初应力时反对称复合材料圆柱壳双稳态对应的曲率方向相同的情况有所不同;

当初應力满足koy（D11D22/（2D66+D12）-D12）

柱壳结构也有2个平衡稳态位置，第一个稳定平衡位置对应柱壳的初始状态，2个稳态对应的曲率相同，此时与无初应力的反对称复合材料圆柱壳双稳态对应的曲率方向相同的情况一致。初应力会对第二稳态半径造成影响，但初应力的存在使反对称复合材料柱壳结构在稳态时不会产生扭转变形。

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（编辑 武曉英）