（凯里学院，贵州 凯里 556011）

20 世纪后期以来，世界各国纷纷在进行教育改革，其中一个重要目标就是追求质量.我国在21纪初也跟上国际教育改革的脚步，加入到了轰轰烈烈的教育改革当中.教育改革，一个重要的方面就是课程，课程改革是教育改革的核心，它确定了教师要教什么，学生要学什么的问题.本文以我国在2011 新修定的《义务教育数学课程标准》（北京师范大学出版社）（以下简称《数学标准》）和美国的《美国学校数学教育的原则和标准》（以下简称《原则和标准》）为文本，从课程理念、课程内容和课程实施几方面进行比较研究，找出其中的共同点和差异，目的主要是通过比较，发现各自的优缺点，为我国的数学教育提供借鉴.

1 价值目标比较

课程标准充分体现了一个国家在相关学科上的教育理念，中美数学课程标准在课程基本理念上，一个共同的特点是体现公平，让每一个学生都得到应有的发展.如《原则和标准》明确提出：所有学生应该理解地学习重要数学概念和过程，其目的是“为美好的，不断更新的将来做准备，所有学生都应该获得必要的数学教育”［1］.这种“面向全体的数学（mathematics for all）是一种以教育公平为其核心内涵的教育理念，其目标在于以一种公平的方式促进所有学生在数学上的最大发展［2］.我国的《数学标准》在思想上同样体现教育公平的理念，在课程标准中列专条强调：“数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”［3］.强调公平，强调适合的教育是中美国两国数学教育理念的相通之处.所不同的是美国从原则的角度来强调，比我们从理念、观念上来强调显得更加具体，要求更加明确.

2 课程内容选择原则的比较

在课程内容的选择原则上，《原则和标准》特别强调值得学习的数学内容，“数学课程应当突出那些值得学生花时间和精力学习的数学内容和过程”［1］.在知识的选择上，《原则和标准》较为注重说明为什么所学的知识是重要的，如为什么学习位值（place value）、等价（equivalence）、比例关系（pro⁃portionalitsy）、函数（function）和变化率（rate of change）等基本概念，为什么这些内容在数学课程中都应占有显著的位置，其原因是这些知识“能使学生理解其它数学观念，并与不同数学领域内的概念联系起来”［1］，既强调要学什么，还说明为什么学，相比较之下，《数学标准》在这方面存在一定的不足，只列出了相应的学习内容，没有进一步的说明为什么学，显得有些武断.因此，在这方面，我们有必要学习借鉴美国的课程标准，同时做一些实证性的研究，证明所学数学知识的价值.

在数学课程内容上，《原则和标准》是从学前到高中共12 年整体进行设计，具体包括内容目标与过程目标两部分.数与运算、代数、几何、度量、数据分析与概率为内容目标，问题解决、推理与证明、交流、关系、表征为过程目标.值得一提的是，美国的这种分法并不是硬性的把过程和内容相分离，过程目标“突出强调了隐含在数学概念中的重要的和基本的思维技能.鼓励学生作为一个积极的学习者去亲自‘发明’数学知识”［4］.

我国的《数学标准》是九年一贯制，不包括学前和高中，课程内容包括数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个部分，没有专门分内容目标和过程目标.但是在《数学标准》中，同样既强调数学知识，同时又强调数学过程.特别是从之前的双基拓展为四基之后，数学过程被强调得更多了，主要体现在问题解决部分.在这一部分，强调学生的自我探索、合作、交流、尝试解释与独立思考等数学品质.虽然内容上有一定的差异，在表述上有所不同，但是对数学的理解却是相通的，既强调知识的学习、技能的培养，也重视数学思想的教育，特别是过程性，在数学理念上较为接近.

3 课程实施基本要求的比较

课程实施是实现课程目标的途径，课程实施的质量决定了学生学到什么样的数学.把《原则和标准》中关于课程实施的原则与我国《数学标准》中关于课程实施建议、教材编写建议进行比较，可以发现在理念上的相通之处.接下来从《原则与标准》中提出的六大原则出发，探讨中美数学课程标准实施方面的差异.

3.1 公平原则是中美课程标准的共识

《原则与标准》中的第一原则是：“数学教育的优化要公平——对所有的学生都有高要求，并大力帮助他们学好数学”［1］.并从三个方面分别对这条原则进行了阐释［1］：一是公平需要对所有的学生都有高要求，并提供均等且优良的机会；二是公平意味着因材施教；三是公平需要提供所有班级和学生必需的资源和支持.三个方面分别从公平的理念、实现公平的方法到实现公平的条件进行了阐释，公平理念面对所有的学生，不管他（她）的个性、文化背景、身体是否残障、人种、性别等都有高要求，所有的学生能够而且必须学习数学.这打破了长期以来人们的一些不正确的看法，如女生不如男生，黑人不如白人，贫穷学生不如富学生的错误看法，做到了面对所有的学生，并且所有的学生都应学好数学.因材实教是实现公平的途径，强调了根据不同学生的先前知识、能力特点、文化背景、身体状况进行教学，在具体的方法上，如对学习困难的学生采取课外补习、同伴辅导或跨年龄个别辅导的方式.对学习有天赋的学生，则要有进一步的计划和额外的资源来鼓励他们学好数学.因材实教不仅考虑到了学习困难的学生，同时考虑到了具有良好天赋的学生，是教育公平在教学理念中的具体体现，其目的是让所有的学生都能在他原有的基础上有所发展和提高.最后，足够的人力和物力资源是实现公平的条件.特别值得我们学习的是，他针对来自不同语言和文化背景中的学生、有残疾的学生以及有天分的学生，老师如何面对的问题.这对老师的要求很高，美国人也看到了实现教育公平的问题是师资问题，但是老师需要什么样的条件，他考虑得较清楚，即要培养能因材实教的教师.为了使老师能达到这些要求，他们注重了教师的在职培训，通过在职培训来提高教师因材施教的能力.

与美国的公平原则相比，我国的数学标准同样体现了这样的原则和要求，例如在《数学标准》的课程实施建议中，明确提出下列要求：要“面向全体学生与关注学生个体差异，要处理好两者之间的关系”“，对于有困难的学生，教师要给予及时的关注与帮助，鼓励他们主动参与数学学习，并尝试用自己的方法解决问题、发表自己的看法……，对于学有余力并对数学有兴趣的学生，教师要为他们提供材料和思维的空间，指导他们阅读，发展他们的才能”［3］.中美都是多民族的国家，在因材实教的问题上，在课程实施过程中都注意到了不同学生的文化背景问题，因此都提出要根据文化背景不同因材施教.对于学习困难的学生，美国强调采用各种方式，如课后辅导、给予个别帮助，而我国对学习困难的学生，则是采用鼓励参与的方式，并没有提出太有针对性的策略.这在体现教育公平方面，不如美国的要求高，且美国对所有的学生的要求都是高要求.认为对所有的学生都有高要求，并提供均等优良的教育机会才是真正的公平.相比之下，我们对学习困难的学生的要求不是高要求，而是一种低要求，这不利于学习困难学生的成长.在实现教育公平的核心要素——教师上，《数学标准》中关于教师的地位、如何处理教材内容等问题着墨很多，但是如何针对不同背景、个性特点和天分的学生的教学，即如何实现因材施教的问题上，缺少较细致的要求.

3.2 都强调数学知识的系统性

《原则与标准》中的第二条原则是课程原则，即是对数学课程所提出的要求，对我国来说，则体现为对数学教材的要求.美国对课程的要求是“课程不仅仅是教学活动的蓝本，它必须是连贯的，重点突出的，且各年级的课程内容应相当明确”［1］，强调知识的系统性，连贯性、明确性，特别还强调重点突出，即要学习那些对学生来说非常重要的知识.主要体现在三个方面，一是数学课程应该是连贯的，强调知识之间的联系，“连贯的课程恰当地组织和综合了重要的数学观念，以使学生了解这些观念是如何建立在其它观念之上，并如何相互关联的，从而加深理解并掌握新的技能”［1］.这与我国一直以来在教材编写方面的经验是相通的，我国的数学教材编写向来以系统性著称，因为这有利于学生获得系统的数学知识.但是，美国的数学课程不仅强调要有连贯性，而且还要强调“突出重要的数学”.所谓重要的数学，就是那些“值得学生花时间和精力学习的数学内容和过程”［1］.明确性方面，要求各年级学什么内容要做到明确，“它为何时保证学生达到学习的某一深度和什么时候停止对某些概念和技能的教学提供指导”［1］.我国《数学标准》在对教材的要求上，也特别强调知识的逻辑体系，强调知识之间的相互联系和数学概念之间的螺旋上升.“要整体考虑知识之间的关联”，“重要的数学概念与数学思想要体现螺旋上升的原则”［3］是我国教材编写的要求，这些要求在中美教材的要求上，有趋同.

3.3 都注重对数学知识的深入理解

良好的教学和学生积极主动的学习是实现教育目标的最重要的途径，在教学与学习的要求上，美国的教学原则要求“教师了解学生知道什么以及需要学什么，然后促使并帮助他们学好”［1］.美国人也一样认识到，要教好数学并没有一个简单的秘密可以用来帮助教师和学生，教好数学是一项艰巨的任务，为了解决这个问题，《课程原则》从三个方面给教师提出实现有效教学的3 个要求［1］：一要求教师“知道并理解数学、作为学习者的学生并掌握教学策略”；二要求教师创造“一个富有挑战性且适宜于课堂学习的环境”；三是“有效的教学必须要不断地寻求改善”.要求教师要理解数学、了解学生、掌握教学策略，创造适宜于课堂的学习环境，以及根据学生及教学环境不断改善教学策略，这是从有效教学的角度提出了对教学的要求，是实现教育目标的重要途径.善于用有价值的数学问题引出重要的数学问题，促进学生思考.在学习原则上，要求学生“必须理解地学习，在经验和先前知识的基础上，积极主动地掌握新知识”［1］.这种教学和学习的原则，明显体现的是建构主义心理学的教学和学习方式，具有较强烈的心理学特征，是心理学理论在数学教育中的运用.

我国的《数学标准》更多强调教师的主导作用和学生主体性的发挥.强调教师在教学过程中要做好组织者、引导者、促进者，促使学生的主体性得到张扬.在讲授过程中，注重采用启发式的教学，使教学过程成为引导学生学会独立思考的过程.在教学和学习的关系上，更多体现的是一种教学认识论的特征，教学和学习受认识论的影响较为明显，具有明显的哲学意蕴.

3.4 都强调信息技术在教学中的辅助作用

信息技术在教学中的运用方面，《原则与标准》认为，“科学技术在数学教育中起着至关重要的作用.这不仅影响所教的数学内容，而且能提高学生的学习”［1］.美国人认为，运用计算器或计算机，学生能比用笔算考察更多的例子和表征方式，从而能使学生更容易做出猜想和研究猜想“.现代科技能使学生从事和掌握抽象的数学概念，提供了从不同角度探索数学观念的途径，从而大大丰富了探索的范围和质量”［1］.在教学设计方面，教师可以根据学生的个性特点来选择教学方式，也就是在现代科技下的因材施教，如容易分心的学生，可能更专心于用计算机来解决问题，对基本操作和运算有困难的学生能够发展和表现其他方面的数学理解能力，这种理解能力最终又反过来促进他们掌握基本的运算或操作.还认为现代科技有助于卓有成效的数学教学“.教师能利用模拟和仿真让学生获得在没有科技辅助下难以进行的探索问题情境的经验”［1］等，但是美国人对科学技术在教学中的应用的认识也相当理性，认识到现代科技不能代替教师，只能为教师教学决策服务.

我国的《数学标准》同样重视信息技术方面的教学，并从三个角度对现代信息技术的运用作了阐释，较为全面的体现了我国在把信息技术运用于教学方面的认识，具体内容为［3］：一是将信息技术作为教师从事数学教学实践与研究的辅助性工具；二是将信息技术作为学生从事数学学习活动的辅助性工具；三是将计算器等技术作为评价学生数学学习的辅助性工具.三个方面分别从教师、教学、学生三个角度探讨现代信息技术在数学教育中的作用，其特点都体现在辅助性上，即现代信息技术不能代替教师，更不能代替教学，也不能代替学生的自主学习.运用现代信息技术的一个目的就是为数学教育服务，这与美国的现代科技运用于数学教育的理念是一致的.

3.5 都注重评价的多元化

评价理念上，《原则与标准》既注重通过评估对教师教学策略的价值，同时更是为了引导和提高学生的学习成绩而进行评估.认为“评估是促进教学决策的有用工具”“.要保证所有的学生更深入并高质量的学习，评估和教学必须结合起来，使评估成为课堂教学活动不可分割的一部分”［1］.值得一提的是美国的教学评估注重多种方式，包括用开放题、解答题、选择题、操作题、观察、访谈、反思性日记和收集代表作等评估学生的学习水平，既注重过程性的评估，也注重到学生的学习结果和质量.我国在评价上，同样也有以上一些相应的评价形式，如书面测验、口头测验、开放式问题、活动报告、课堂观察、课后访谈、课内外作业、成长记录等.理念上“评价主要目的是全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学”，“评价不仅要关注学生的学习结果，更要关注学生在学习过程中的发展和变化”［3］.两国的评价理念很接近.不同的是我国的评价提出了评价的维度.主要从基础知识与基本技能，数学思考和问题解决，情感态度，学生数学学习过程几方面进行评价.在评价主体上，我国同样注重评价主体的多元化，评价方式的多样化，根据评价目的，恰当的选择相应的评价方式和方法，中美在这方面有相通之处的教学评价.

4 借鉴意义

美国的《原则与标准》与中国的《数学标准》有相似的地方，如都注重知识的理解和能力的培养、注重公平、体现因材施教、注重现代科学技术在教学中的合理运用，在评价方面注意使用多元化的评估，注意通过评估来促进教师的教和学生的学、注重过程等等.不过，在认真的作比较分析后发现，美国的《原则与标准》还是有一些值得我们学习和反思的地方.

4.1 反思一：既要明白教与学的内容，还要弄清为什么教和学这些内容

什么知识最有价值的问题是任何课程理论都不可能回避的，数学课程也不例外.美国课程标准当中，对所学的数学知识进行了一定的理性分析，说清楚学什么的同时，更要说明白为什么学.这样有利于教师在教学过程中理解所教内容的重要性，相比之下，我们在这方面显得武断一些，只强调要学什么，很少说明为什么学（也许在教学参考书中另有说明）.因此，在我国的数学课标中，有必要说清楚所教内容的价值与意义，这样有利于师生对所教的内容有更深刻的理解，促进理解性教学提高.

4.2 反思二：教材难度是要降低还是增加

在数学内容选择上，各国要求不可能完全一致.但是还是有很多内容是相同的，如两国的数学内容中都有：数的认识、数的理解、图形与几何、证明、推理、相似等，都是相同的内容.但是在具体的要求上，我们有些内容相对降低了难度，有人对中美两国的数学教材做了比较分析发现，在内容相同的情况下，美国要求的思维水平比我国的要高.在具体的数学内容上，更具有思想性也更具有深度.据相关学者对几何内容进行比较研究后发现，“我国小学生所学习和认识的基本局限于欧氏几何体系中的三维空间中的图形和性质；最多在统计知识中增加了一些坐标几何的知识.而美国小学数学课程中的几何却同时贯穿了拓扑几何、欧氏几何、坐标几何和变换几何4 种几何体系，学生在小学阶段就能够比较全面地认识和领会到多样化的几何体系”［4］.在深度上，美国的数学也比我们更有深度，同样以几何为例，“美国几何课本中，有一个用不同的颜色去涂沫地图的问题.这实际上是在向学生渗透著名的四色定理！而我国教材中由于担心增加学生的课业负担，一些较有思想性、较有深度的内容则很难在教材出现”［4］.当我们在降低要求，在为减轻学生的学业负担而减少课程内容的时候，美国的课程不论在广度上还是深度上都超过了我们，压缩内容与降低难度，会不会与素质教育的追求背道而弛，需要反思.

总之，随着教育全球化的发展和深入，各国数学课程标准在内容、理念与具体的要求方面存在很多相通之处，同时也存在着一定的差异.但是，追求质量是各国一致的目标，我们需要什么样的数学教育质量，如何提高数学的教学质量和水平，需要进行不断的研究和对他国先进成果的借鉴.