APP下载

函数的最值问题在实际问题中的应用研究

2020-01-09陈影影

文化创新比较研究 2019年35期
关键词:所求模量用料

陈影影

(上海电机学院文理学院,上海 201306)

解决现实生活中一些问题,例如:在一定条件下,如何使“材料最省”“利润最大”“成本最低”等,想要解决这类问题,可以通过研究各个变量之间的关系,建立相应的函数关系式,并进一步研究该关系式的最值问题。函数的最值问题在多个科学领域中都有很广泛的应用,这就需要把实际遇到的问题,抽象成各个变量之间的函数关系,并进一步转化成微积分学里的求最值问题来解决,所以,对函数最值问题以及对最值问题应用的研究有着非常重要的意义。

1 最值定理

如果函f(x)在区间[a,b]上连续,那么f(x)在[a,b]上一定能够取到最大值和最小值。

如图1所示,定理1 说明,如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,那么至少有一点x1∈[a,b],使f(x1)是f(x)在[a,b]上的最大值,即对一切x∈[a,b],均有f(x1)≥f(x)成立;又至少有一点x2[a,b],使f(x2)是f(x)在[a,b]上的最小值,即对一切x∈[a,b],均有f(x2)≤f(x)成立。

图1 函数图

2 方法步骤

对于闭区间上连续的函数f(x)来说,其最大值和最小值一定存在。如果最大值或最小值在区间(a,b)内部取得,那么它一定也是极值,而极值只可能在f(x)的驻点或导数不存在的点取得。当然最大值或最小值也有可能在区间的端点出取得,这时最大值或最小值就不一定是极值。因此,求函数f(x)在[a,b]上的最值(最大值或最小值)的方法与步骤如下。

(1)求出f(x)所有可能极值点的函数值,并将这些函数值与端点处的函数值f(a),f(b)做比较,比较之后这些值中所得到的最大值就是所求的最大值,所得到的最小值就是所求的最小值。

(2)对于闭区间[a,b]上的连续函数f(x)来说,倘若在这个区间的内部只有唯一的一个可能的极值点,并且f(x)在这一点的确存在极值,那么,这个唯一的极值点就是所求的函数在[a,b]上的最值点。

实际问题求最值应注意如下内容。

(1)建立目标函数;(2)求最值。

若目标函数只有唯一驻点,则该点的函数值即为所求的最大值(或最小值)。

3 应用举例

3.1 最值问题在物理学中的应用

函数最值问题也经常被用来解决物理学中的一些问题。

图2 最值问题在物理学中的应用

令φ(α)=cosα+μsinα,

则问题转化为求φ(α)的最大值问题。

φ'(α)=-sinα+μcosα,α"(α)=-cosα-μsinα,

令φ'(α)=0,解得α=arctan μ=arctan 0.25=14°2',而φ"(α)<0,所以α=14°2' 时φ(α)取最大值,因而取最小值。

最值问题在经济活动中也有非常广泛的应用,以下举例说明。

3.2 费用最省

例:公路上A,B 两点间的长度是100 km,点C 和A 为20 km,AC⊥AB,现在要在A,B 两点之间确定一点D,在D 和C 之间修一条新公路,已知公路AB 与公路CD 每公里货运价之比为3∶5,把货物从B 处运到C处,问D 点应该如何确定才能使总运费最省(见图3)?

图3 费用最省问题图

3.3 利润最大

例:一工厂生产x 千件某种产品的成本是C(x)=x3-6x2+15x,而卖出这种产品的收入是R(x)=9x,问该工厂该如何生产才能使利润最大(见图4)?

图4 利润最大问题图

解:售出x 千件产品所得的利润表达式为

p(x)=R(x)-C(x)=-x3+6x2-6x,

两端求导得

p'(x)=-3x2+12x2-6=-3(x2-4x+2)。

3.4 经济批量问题

例:一个商场每年卖出某种商品a 件,共分为x 次进行批货。每次批货的费用为b 元,而没能及时卖出的商品需库存,库存的费用为c 元/(年·件)。假设卖出商品是均匀的,问分多少批进货时,才能使以上两种费用的综合为最省? (a,b,c 为常数且a,b,c>0)

解:根据题意,x 次批货的总费用为

W1(x)=bx。

3.5 梁的抗弯截模量最大

例:把一根原木用锯锯成矩形的梁,原木的直径为,为了使矩形梁的抗弯截面模量达到最大,问应如何确定矩形截面的长和宽(见图5)?

解:设矩形截面的长为h,宽为b。由力学知识知,梁的抗弯截面模量为

图5 梁的抗弯截面模量最大问题图

由题意知,当时,可以使矩形梁的抗弯截面模量达到最大。

3.6 用料最省

例:设计固定体积圆柱形饮料罐,罐的侧面和底部是用整块材料制成的,顶部盖子的厚度是侧面或底部的三倍,为了使总用料最省,应如何设计它的底面半径r 和高度h?

解:饮料罐的体积记为V,设饮料罐身的侧面和底部厚度均为δ,那么顶盖的厚度是3δ,高

所以,饮料罐侧面和底部总用料为U1(r)=δ(πr2+2πrh)=δ(πr2+),

顶盖的用料为U2(r)=3δπr2,因此问题转化为求函数

U(r)=U1(r)+U1(r)=δ(4πr2+),r∈(0,+∞)的最小值。

所以r0是U(r)的最小值点。这时相应的高为

即,当h=2r 时,用料最省。

4 结语

文章对最值定理及最值的计算方法做了简单的介绍。不仅举例说明了最值问题在物理计算中的应用,也分类讨论了在经济学领域里对最值定理及计算方法的应用。由此可知,在解决实际问题时对函数最值问题的应用非常的广泛。

猜你喜欢

所求模量用料
用料不当致牛病 如何防治效果好
从寿司用料看中日饮食文化交流
所 求
冻融作用下生石灰处置过湿粘土动态回弹模量试验研究
复合固体推进剂单向拉伸曲线的拟合分析*
垂直振动压实水泥冷再生混合料的回弹模量特性
良渚文化玉器用料探秘
土的压缩模量及变形模量之讨论
木匠的门