马维俊

【摘要】矩形是特殊的平行四边形，准确掌握矩形的特殊性对理解矩形与平行四边形之间的关系至关重要.理解矩形的特殊性有很多方法和手段，本文欲借助信息技术手段（几何画板）从不同的角度对矩形相对于平行四边形的特殊性进行探究，从而达到使学生准确理解矩形与平行四边形关系的目的.

【关键词】矩形;特殊性;探究

1 引言

矩形是人教版数学第十八章第2节第1小节的内容，是在平行四边形的基础上学习的特殊的平行四边形.显然，矩形是平行四边形，但又不是一般的平行四边形，有其特殊性.从形状上看，矩形最大的特殊性在于其四个角都是直角，所以教材上定义矩形的时候从“角”的角度去定义，即给平行四边形添加一个“直角”的条件，从而得到矩形.之后，教材以“角”为主线，给出了矩形的一条有别于一般平行四边形的性质，即“矩形的四个角都是直角”;同样以“角”为主线，给出了矩形的一条特殊的判定方法，即“有三个角是直角的四边形是矩形”.显然，这些矩形独有的性质和判定的探究，离不开矩形的“角”.

对于初识矩形的学生来讲，教师以怎样的方法向学生展现矩形的特殊性比较合适呢？首先第一步是观察.几何画板作为一个有效的几何学习工具在表现图形的直观性当中，提供了有效的观察角度，是最佳选择.在利用几何画板演示时，教师要刻意沿着矩形的特殊性源自“角”这个思路去引导学生，以便达到使学生理解矩形特殊性的目的.

2 探索矩形特殊性的有效途径

想要利用几何画板探索矩形相对于平行四边形的特殊性，可以从以下四个角度去探索.

2.1 从一个内角看矩形的特殊性

有一个角是直角的平行四边形是矩形，这是教材上对矩形的定义.这个定义从角的层面让我们认识到了矩形的特殊性.在几何画板中绘制平行四边形ABCD，并度量∠ABC，如图.

在保证邻边AB和BC的长度不变的前提下，拖动A点从右向左移动，可发现∠ABC从0°向180°变化.在这个变化过程中，平行四边形的形状同时发生变化.当∠ABC从锐角变化为钝角时，必然存在∠ABC =90°的状态.90°是一个特殊的存在，它恰好是锐角和钝角的分界度数.此时，平行四边形的形状便处在一个特殊的形态，这个形态就是矩形的形态.

2.2 从一组邻边的位置关系看矩形的特殊性

对于上面的变化过程，若从两条相交线的层面去看，两直线相交，若不考虑重合的情形，只有一种特殊状态，那就是两直线垂直.当拖动A点从右向左移动时，线段AB和BC所在的直线从一般的相交状态先变为垂直相交再变为一般相交，而AB⊥BC时，平行四边形ABCD的形态就是矩形的形态.

从过程上看，以上两种情形的特殊形态都以90°为基础，但是考虑的视角不同.第一种情形是从“角”出发看特殊性，重点体现直角这个特征.第二种情形是从“边”出发看特殊性，重点体现一组邻边的特殊的位置关系.这两种分析方式，有助于学生理解构成矩形的不同元素对矩形的特殊性的影响，有助于学生从“角”和“边”的层面去学习和探究矩形，为学生提供探究方法和探究思想.

2.3 从一组对边之间的距离看矩形的特殊性

由平行四边形的性质可知，平行四边形的对边平行.在平行四边形ABCD中，AB∥CD.两条平行线间的垂线段的长度叫作平行线间的距离.在几何画板中，绘制平行四边形ABCD，在对边AD与BC之间作垂线段EF，并度量EF，如图.

在保证邻边AB和BC的长度不变的前提下，拖动A点从右向左移动，观察EF長度的变化，可发现∠ABC从0°向90°变化时，EF的长度逐渐变大;当∠ABC=90°时，EF的长度达到最大值;∠ABC从90°向180°变化时，EF的长度逐渐变小.在整个变化过程中，EF达到最大值时，平行四边形ABCD的形态便是这个过程的一个特殊形态，即矩形的形态.

2.4 从面积看矩形的特殊性

平行四边形的面积=底×高.在几何画板中绘制平行四边形ABCD，度量∠ABC和平行四边形ABCD的面积，如图.

在保证邻边AB和BC的长度不变的前提下，拖动点A从右到左移动，可发现∠ABC从0°向90°变化时，平行四边形的面积逐渐变大;当∠ABC=90°时，平行四边形的面积达到最大值;∠ABC从90°向180°变化时，平行四边形的面积逐渐变小.在整个变化过程中，平行四边形的面积达到最大值时，平行四边形的形态便是这个过程的一个特殊形态，即矩形的形态.

从相关性上看，第三种情形的探究和第四种情形的探究，都与矩形的一组对边之间的最大距离相关.但这两种探究视角，反映了不同的知识侧重点.第三种情形重点在体现两条平行线间的最大距离.距离是初中几何学习的一大难点，包括点到点的距离、点到直线的距离、两平行线间的距离.在这里学生从距离的视角去看矩形的特殊性，不仅对矩形会有更好的理解，同时对距离也有更深的体会.第四种情形重点在体现“面积最大”这个特殊性上.这里学生体会到的是面积的变化.与以往静止的面积不同，这是在变化过程中寻求最大面积.这两种情形的探索过程，帮助学生在理解矩形特殊性的同时，初步认识了“求最值”的数学思维.

在理解矩形相对于平行四边形的特殊性时，我们利用几何画板使得矩形的特殊性显得更加直观和形象.从一个内角、一组邻边的位置关系、一组对边之间的距离及面积等方面探究，可使得学生更加深入地理解矩形的定义，更加深刻地理解矩形与平行四边形之间的关系，更加清晰地明白矩形相对于平行四边形的特殊性，为其学习矩形的性质和判定奠定了坚实的基础.

3 功能特殊的矩形

和其他初中阶段学习的图形相比，矩形是最为常见也是应用最为广泛的图形之一.而在矩形的种类中有一个比较特殊的矩形，因其具有一定的特殊性所以值得我们去重视.

3.1 黄金矩形

3.1.1 黄金矩形的概述

【参考文献】

[1]秦兴涛. 一道矩形折叠问题的三种解法（初三）[J]. 数理天地（初中版）， 2018（6）：19.

[2]汪晶晶. 生长型数学专题复习课教学探索：以“矩形折叠问题”为例[J]. 中学数学研究（下半月）， 2019（9）：38-40.

[3]沈岳夫. 细品读 善联想 巧破解：对一类“定义特殊四边形”求边长的试题探析[J]. 中学数学， 2018（14）：85-87.

[4]陈德前. 特殊平行四边形的判定[J]. 初中生天地， 2018（11）：41-42.