张才宝 刘洪超

[摘要] 以课本有关数学实验室的建设使用为例，说明建设和使用数学实验室的意义、作用和价值。主要包括三个维度因素：一是变式关联，重组“实验反应块”，提高“学会思考”心理水平;二是补偿思维，建立“实验关系块”，内驱“学会学习”动力机制;三是增值经验，用好“实验审美块”，激发“学习兴趣”的内部状态。

[关键词] 数学实验室;建设与使用;课例研究

数学实验教育由来已久，在转变学生“学习方式”层面做出了不可替代的贡献。苏教版初中数学课本在“后记”中指出，“数学实验室”是通过“做”数学，感悟、理解数学知识;《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确要求，有条件的学校可以建立“数学实验室”供学生使用，并以此培养学生的实践能力、创新精神及其个性品质，促进不同学生在数学上得到不同发展。因此，研究数学实验室的建设与使用问题，意义重大，影响深远。

本文以“月历游戏”“剪纸盒”和“七巧板拼图”等数学实验室的运行过程为例，说明建设和使用数学实验室的目的，不止于理解数学、转型课堂，更在于“学会学习”这一核心素养目标的充分实现，促进“关键能力”和“必备品格”的养成。

一、变式关联，重组“数学实验反应块”，提高“学会思考”的心理水平

“变式”与“关联”是学会思考的心理基础，是概念产生与发展的“点火器”，有助于原型定向（注：“原型”可以理解为“模型”，是专家头脑中的高度约简的知识经验、思想方法等）。像“代数式”“方程”“不等式”等描述性概念，就是一種常见的“原型”，当我们确定研究的对象为“方程”，那么从问题情境中抽象出“一元一次方程”模型及其模型关系的过程，就是原型定向的过程。具体到从“天平称重”“篮球联赛”“绳长井深”“火柴棒拼小鱼”“年龄问题”等实际问题中，抽象出一般关系ax+b=0（a≠0，a、b为常数）就是一种常见的方程模型。从数学实验室设置的目的来说，“思考”本身就是一种数学关联，“数学变式”本身就是一种内部关系的关联，有助于知识经验的重组和再造，有助于学生形成概念模型。基于这一认识，可以说，重组数学实验“反应块”，就是将同一实验主题要素、内部关系要素及其相关要素重新组合，设置新的问题解决任务，形成新的数学认知过程，具体包括感知觉、表象、记忆、数学语言、数学思维与意识的过程。比如，“月历游戏”这一实验载体，分布在课本多处，具体涉及“1.2活动 思考”的“活动三”、“第3章代数式”的“章头图”、“3.2代数式”的“试一试”活动任务项、“4.3用一元一次方程解决问题”的“数学实验室”。因此，需要重组“月历游戏”这一实验室的实验内容，构建适合学生知觉学习和表象建立的数学实验反应块，进而促进知识关联，提高学生“学会思考”心理水平。

当然，教之道在于“度”，学之道在于“悟”，数学实验之道在于“学会思考”。因此，数学实验室的建设与使用，目的不止于习得知识技能，更在于将数学与现实、静态概念与动态过程结合在一起。“数学与现实”的结合理解成“数学与生活同行”，就是重视学生已有经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程;“静态概念与动态过程”结合就是把“学术形态”的概念，通过“动手“做数学”，转化为学生的应用意识和实践能力以及创新精神。这与“教学中不仅关注数学内容的掌握，还特别注重应用意识”[1]具有一致性关系。为此，在变式关联维度，建设与使用“数学实验室”需要做好三个方面的工作：一是数学变式，促进概念产生与形成;二是数学关联，形成模型思想和模型能力;三是应用数学，建立数学服务生活的观念，增长数学才干。

不妨以“月历游戏”这一数学实验室项目的建设与使用为例，说明怎样通过“变式关联”，建设好数学实验室、用好数学实验室，提高学生“学会思考”的心理水平。具体操作过程如下：首先是让学生在月历（如图1）的同一行上任意圈出相邻的5个数，并把这5个数的和告诉同学，让同学求出这5个数。其次是在月历的同一列上任意圈出3个数，并把这3个数的和告诉同学，让同学求出这3个数。再次是让学生在月历上“任意”找1个数以及它的上下左右的4个数，把这5个数的和告诉同学，让同学求出这5个数。最后是让学生基于代数关系建模：设月历上一个数为n，其前、后两个数分别为（n-1）和（n+1），其上、下两个数分别为（n-7）和（n+7），算出小明几号回家。显然，“月历上行的数量关系→月历上列的数量关系”是实验变式的基础，“月历上一个数+上下左右→‘十字型构造”是一种关联变式，则帮小明“算日期”是一种数学应用，有助于“学会思考”目标的实现。这种重组实验块的方法机制，是数学实验室建设的“导航仪”，有助于系统思维的发展和“学会”能力的获得。尤其在发展核心素养和转型课堂的今天，数学实验室建设和使用的目的，一方面是发展学生的“变式关联”能力，另一方面是“教思考”，教学生“学会思考”。

二、补偿思维，建立数学实验“关系块”，内驱“学会学习”的动力机制

在数学实验室建设范畴，补偿思维或思维补偿，是数学实验室“思维关系块”建立的支持条件和内部机制。比如，在研究正方体纸盒转化为展开图的过程中，在展开与折叠互逆关系的基础上，研究剪掉棱的条数，就是一种内部思维补偿的好例子，具体表现为“直接数图”（7条）或者“作差法”（12-5=7条）。一般情况下，通过思维交往互动的过程，将“不理解”转化为“可理解”的状态，将“不可能”转化为“可能”的认知状态，就会自然内驱“由内而外”的理趣，提高学会学习的质量。同时，数学实验“关系块”的建立，也在不同层面反哺“学会学习”的心理认知能力。从数学实验室建设的目的来说，“关系块”本身是一种概念的复合体，反映知识结构的思维序和层次性，有助于不同学生获得不同的数学发展。事实上，数学实验室“关系块”的建立过程，就是数学模型的产生过程，也是知识结构模型化的顺应过程。模型化加工是一种再认知，是一种批判性再思考，是个体根据自己的学习风格对自己内在的认知过程的调节活动。[2]像“欧拉定理”（“棱柱的顶点数+棱柱的面数-棱柱的棱数=2”）的再认知，有的同学在研究长方体的面数、顶点数和棱数后就猜想出一般化结论;有的同学需要补偿研究四棱柱、五棱柱，甚至更多的棱柱，才能理解这一结论，并形成模型意识，这是由个体的批判性思考水平决定的。因此，补偿思维具有批判性，能够内驱“学会学习”的有效发生。

一般情况下，一个数学实验关系块至少包括三个层次因素：一是“做数学”的关系因素，旨在让学生在“做”的活动中，感知到“要去哪里”;二是层次化理解因素，旨在让学生在序列问题解决中，提升学会学习的知觉能力;三是补偿思维因素，旨在让学生在思考批判中，形成结构化认知心理，提高数学再认和数学再造能力。正如李士锜的观点，学习一个数学概念、原理、法则，如果在心理上能组织起适当的有效的认知结构，并使之成为个人内部知识网络的一部分，那么才说明是理解了。[3]为此，补偿思维贵在组织恰当的关系块，让学生经历序列化问题解决，获得“学会”的能力。

不妨以数学实验“剪纸盒”的关系块建立过程为载体，说明补偿思维对“学会学习”的支持作用，促进认知结构的有效建立，提高“学会学习”的质量。具体实施过程如下：首先，让学生将准备好的正方体纸盒沿部分棱剪开展成一个平面图形，并画出尽可能多的不同展开图（可以归结为11种），使得学生在操作过程中，体验到“同一个正方体纸盒的表面沿不同的棱剪开，展成的平面图形可以是不同的”。这能较好地落实“对于某些知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解”的课程目标。其次，让学生把得到的平面图形相互交流，追问“你能得到图2的平面图形吗？”并说出剪掉棱的条数（有的同学通过数图的方法数出7条;有的同学通过算图的方法算出12-5=7，这里的“5”是展开图中连接面的棱的条数），这是一种层次思维，有助于将“结构知识”转化为有效的“认知结构”。最后，让学生在可逆补偿思考中，判断图3能否折成一个正方体，如果能，说明理由;如果不能，移动其中一个小方块，使其能拼成正方体纸盒（大部分同学移动了上面两块中的一块，个别同学移动了“4块行”中的左首块）。这是一种互逆思考，又是一种批判性思考，有助于学生形成“知其所以然”和“知其所不然”的能力。可见，“剪正方体纸盒”是一个生动的做数学过程。探讨剪法以及算图、数图是一种层次性思维，有助于不同人获得不同发展;“判断→构造”是一种补偿思维，有助于学生形成系统知识，提高认知结构化的性能。

三、增值经验，用好数学实验“审美块”，激发“学习兴趣”的内部状态

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在其“实施建议”中明确指出：帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。而“经历、体验、探索”是数学实验的实施途径，是“动手做”数学实验的“关键词”，是学生感受美、体验美以及塑造美的支持条件。像“折纸”“七巧板拼图”“希沃尺规作图”“画板画图”等实验室的建设，旨在让学生在审美中培养数学兴趣，在动手做数学中深度审美，这本身就是增值经验的表现。基于这一认识，可以说数学实验室建立并推广使用的直接目的是增值经验;间接目的是对美的向往与追求。因此，数学实验室承担着将“冰冷美丽”转化为“火热思考”的“点火器”任务，这就需要用好思维审美块。这里的“用好”包括三个方面的含义：一是思维审美块与学生知觉认知水平一致;二是贴近学生的生活，能够增值经验;三是具有审美理趣和发展智慧的作用。当然，增值经验和“认知兴趣”，需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀。这里的“兴趣”是学生完成某种数学任务的积极心理倾向，是形成心智技能和获得数学智慧的内驱条件，是建设数学实验审美块的内部动因。通过重组迁移，可以提高经验的增值性，扩大基本经验的适用范围[4]，以此提高学习兴趣及其内化能力。

事实上，学习兴趣和实验审美是相辅相成关系，要消除公众心目中数学太难的印象就要善于挖掘数学中的美育因素，如公式的简洁美、图形的构造美、推理的严谨美，都能激发学生学习兴趣的积极状态。用七巧板构造的“家”“小猫”“鸭子”“金鱼”以及“孤舟蓑笠翁，独钓寒江雪”的意境勾勒，就是构造美的生动例子。一方面自然激发学生的认知兴趣状态，另一方面增值經验，产生了创造数学美的冲动，促进了“用数学的眼光观察现实世界;用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”[5]的能力。

不妨以“七巧板拼图”为例，说明数学实验室建设使用“思维审美块”的意义不止于增值经验，更在于触发审美，激发数学认知的兴趣状态。具体实验活动如下：我们把一块正方形薄板分为7块制作成“七巧板”（如图4），用它可以拼出多种多样的图形。首先，让学生用一副“七巧板”拼正方形、长方形和平行四边形等基本图形，并指出使用了哪些板？这一问题设置目的，是让学生在审美数学中，体验几何图形的重组与分离，为后续分离图形铺设思维。其次，让学生分别判断用一副“七巧板”中的3、4、5、6块板能否拼成一个三角形，并拼出条件性图形。“判断”是对存在性的思考，“拼出”是对数学结论的验证与确认，有助于审美兴趣的发展。再次是学生通过重组，用一副“七巧板”，构思出新的图形，并给拼成的图形加上恰当的解说词。“构思”是增值经验的重要方式，是体验美的实践路径，有助于认知兴趣状态的发展。最后，让学生用两副“七巧板”构造出喜欢的图形，如弹钢琴、打乒乓球、公益宣传活动（见图5）等。这有助于审美创造的发生，促进了学生的数学审美冲动，实现了审美增值的目的。如果说“拼基本图形”是一种生活审美，那么“判断→拼出”等问题解决是体验美的表现形式，则“构造→重组”是一种审美迁移，提高了学生学数学的积极性，发展了关键能力，培养了审美冲动。

[参考文献]

[1]何小雅.学生“数学素养”指标的理论分析[J].数学教育学报，2015，24（1）：13.

[2]黄梅，黄希庭.知识的加工阶段与教学条件[J].教育研究，2015（7）：114.

[3]李士锜.数学教育心理[M]. 上海：华东师范大学出版社，2001：64.

[4]教育部人事司.教育心理学考试大纲[M].北京：北京师范大学出版社，2014：74.

[5]史宁中，等.关于高中数学教育中的数学核心素养——史宁中教授访谈之七[J].课程·教材·教法，2017（4）：9.

张才宝   江苏省连云港市海州区教研室，中学数学教研员、高级教师。江苏省教研先进个人。

刘洪超   江苏省连云港市海州实验中学，江苏省初中数学特级教师。江苏省“333高层次人才培养工程”第三层次培养对象。