付尧

【摘要】构造模型法是高中数学中应用最为广泛的解题方法，通过已知的解题条件或者已知问题的答案，构建函数、方程或几何图像等数量关系式来解答题型的方式。高中教材中计数原理、排列、组合的题目类别繁杂多样，解题思路也层出叠现，变幻莫测，而计数原理难点在于解题方式不是唯一的，使高中生遇到此类题型时常常没有解题思路，本文主要介绍构造模型法在计数原理中的实际运用。

【关键词】计数原理  构造模型法  解题技巧

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）49-0123-01

引言

在高中生解题过程中，通常是回忆老师所讲过的内容并对以往做过类似的题目进行分析总结，其意图是依照以往的解题技巧来寻求方法，并以此来解答新题目。构造模型法是一种新型的解题思路模式，通过对题目的构成分析，把分析结果并入到已知的模型中，继而对其进行模拟试验以此解答新题目。因此在高中生学习过程中，应该加强基础模型的结构和实际运用。

一、计数原理概述

计数原理作为数学中最为关键的探究内容之一，也是实践问题中运用性最广泛的知识点，因自身知识点的独特性，其答题方法和分析思路也具有特别之处，其根本计数原理分为分类加法计数原理以及分步乘法计数原理，是解答计数类题型最为基础的理论依据，此方法也为解答现实问题扩宽了思路。分类加法原理，假如一个目标能够在m种不同情形下完成，第k种情形又有nk种不同方法来完成其中k取值可以为1，2，3，…，m，那么完成这个目标就可以有M=n1+n2+n3+…+nm种方式;分步乘法原理，假如完成一个目标需要通过m个环节，第k步又能有nk种不同方法来完成其中k取值可以为1，2，3，…，m，那么完成这个目标就可以有M=n1n2n3…nm种方式。

二、构造模型法的运用

根据计数原理、排列、组合的常规解题模式进行分别论述，从而总结不同题型的解题技巧，进而为构造模型解题法提供参考依据。

（一）映射题型

例1：已知集合M={x，y，z}，N={4，5，6，7，8}，那么集合M→集合N的映射有几种？

通常遇到这类不同单元对应的题目，学生们应从对应单元为只有单一选择的单元为探究对象，在例题中，集合M中的单元在集合N中只有唯一一个单元与之对应，但集合N中可能有多个单元与集合M对应，因此，在解题时，选择集合M为探讨对象，其中x有5种选择，y有5种选择，z也有5种选择，故此集合M到集合N有5×5×5=125种映射。

构造题型：集合M有x个单元，集合N有k个单元，那么集合M→集合N有k种映射。

运用模型：6名学生要去参加跑步、跳高、跳绳、游泳活动，每人仅限一项，问不同的参加方式有几种？

答：4种。

（二）抽取正次品、抓球题型

例2：200件同规格物品中，180件正品，20件次品，现在任意抽取5件，问抽到3件次品的概率是多少？

通过题意可知抽出的5件物品中正品数是2件，次品数是3件，在180件中取出2件正品以及在20件中取出3件次品的抽法共有CC种选择，而总抽法有C种选择，因此抽出5件物品中有3件次品的概率为N=CC/C。

构造题型：在x+y个不同的单元中，x个单元中有同属性产品M（比如颜色、正次品等），y个单元中同属性产品N（比如颜色、正次品等），在x+y中所及抽出z个单元，那么抽取的z个单元中恰好有k个同属性产品M的单元的抽出方式有CC种方式。

运用模型：抽奖箱中有10个篮球和8个红球，随机抓出4个球，问恰好有2个篮球的概率？

答：恰好有2个篮球的概率为N=CC/C。

（三）分配类题型

例3：50个先进个人称号颁发给6个班组，每组最少2个，问有多少种颁发方法？

计数原理题型中同种单元的分配问题通常是比较空洞且难以理清题意，在解答这种题目时，可利用挡板模型来解答，既50个木块有49个间隔（不计两头），需要5个挡板放入49个间隙中，故50个木块可分成6组，一一对应6个班组，每组对应的木块数即颁发的个数，因此共有C种颁发方法。

构造题型：x中同性质的单元分配给y个人，每人最少一个单元，那么共有C种分配方法。

运用模型：求解方程x+y+z=20有多少组自然数的解？

答：有C组解。

（四）子集、并集题型

例4：已知集合M={4，5，6，7}，求解集合M的子集N有多少个？

根据题意可知，集合M中的所有单元组成，只有两种形式，即为属于N或不属于N，故此M的子集个数为2×2×2×2=2个。

构造题型：子集个数问题，关于任何一个k个单元的集合M={x1，x2，x3，…，xk}，子集个数为2k。并集个数问题，已知集合MUN={x1，x2，x3，…，xk}，那么符合要求的M，N集合有多少组？利用几何图形，由图1可知，MUN可划分为三个范围，因此MUN={x1，x2，x3，…，xk}中的任何一个单元x都有3种方式，即有3组符合M，N要求。

运用模型：已知MUN={4，5，6}，那么符合要求的M，N集合有多少组？

答：符合要求的有3组。

结合上述几种题型的分析可以得出，构造模型法既是将题目中共有的信息通过对比、分析总结，使问题由难到简，然后把问题转变成另一种形式来解答。

结束语

构造模型法对于计数原理的运用主要在于構建题型和运用模型，使高中生在解题时通过老师给出的模型进行题目的模仿和构造，可有效增加学生的创造性和解题技能。因此，教师在授课过程中，应加强学生构造模型法的锻炼，将学生的构造模仿能力得到进一步的提升。

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