丁延龄

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）48-0246-02

乘法公式以其广泛的实用性和在应用过程中的多样性，成为初中数学教学的重点，又因其变化的灵活性和技巧性而成为学习中的难点。在整个初中数学的学习中，从整式乘法到因式分解，从数或式的化简与求值，到二次方程的解法，以及二次函数的图象与平面图形特征的定量讨论，特殊不等式的解法等诸多方面都涉及到乘法公式的应用。同时，我们还应注意到，许多问题并不能直接套用公式，还需要添项、拆项、“加减零”、“乘以一”等手段进行变形，因而又极富趣味性和挑战性。这就是我们要讨论的乘法公式的“活学”与“巧用”。

一、在化简或求值问题中的应用

例1.求值：（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）

分析：原式中各因式虽有一定的规律，但又没有现成的公式可用。考虑到平方差公式，只需给原式“乘以一”，即（2-1），虽然不改变原式的大小，但与原式中的首项构成平方差公式，然后，自左向右滚动相乘，便可水到渠成，好戏连台。于是有如下的解法：

解：原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）

=（22-1）（22+1）（24+1）…（22n+1）=（22n-1）（22n+1）=（24n-1）

例2.化简：

二、在二次方程及函数问题中的应用

例3.已知方程（3a2+4ab+4b2+2）x2+2（a+1）x+1=0有实数根，试求字母a，b的值。

分析：由方程根的情况可知，其判别式△≥0，从而可以得到一个关于字母a和b的不等式。但又因为含有两个字母，常规解法显然难以奏效，需通过因式分解转化为特殊不等式进而讨论求解，于是有下面的解法：

解：因为原方程有实数根，∴△≥0，即[2（a+1）]2-4（3a2+4ab+4b2+2）≥0化简整理得：2a2-2a+4ab+4b2+1≤0

拆项后重新组合得：（a2-2a+1）+a2+4ab+（2b）2≤0，即：（a-1）2+（a+2b）2≤0，由偶次幂的非负性可知：（a-1）2≥0，（a+2b）2≥0

所以a-1=0，a+2b=0，于是：a=1，b=-

例4.已知二次函数的解析式为y=（b-c）x2+（c-a）x+（a-b）（其中a，b，c为实数，且b≠c），求证：该函数的图象与x轴一定有公共点。

分析：欲证二次函数的图象与x轴有公共点，只需证明，当y=0时，关于x的一元二次方程一定有实数解，欲证二次方程一定有解，需证其判别式为非负数，常用的手段是设法通过配方或因式分解来转化讨论。

证明：令y=0，则（b-c）x2+（c-a）x+（a-b）=0，

所以△（c-a）2-4（b-c）（a-b）=c2-2ac+a2-4（ab-b2-ac+bc）

=（a+c）2-4b（a+c）+（2b）2=（a+c-ab）2≥0

所以方程（b-c）x2+（c-a）x+（a-b）=0一定有实数解，

即二次函数y=（b-c）x2+（c-a）x+（a-b）的图象与x轴一定有公共点。

三、在平面图形中的应用

例5.已知a、b、c为三角形的三邊，且满足a2+b2+c2≤ab+bc+ac，试确定该三角形的形状。

分析：由三角形三边的数量关系来判断其形状，需将已知的关系式通过变形、转化，进而揭示其内在的联系和本质特征，从而探求其三边之间的相等或不等关系，以确定该三角形的形状。

解：给原不等式的两边同乘以2，得2a2+2b2+2c2≤2ab+2bc+2ac，拆项并整理得：（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（c2-2ac+a2）≤0

即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≤0

由偶次幂的非负性可知：（a-b）2≥0，（b-c）2≥0，（c-a）2≥0

所以a-b=0，b-c=0，c-a=0即a=b=c，故该三角形为等边三角形。

综上可知，乘法公式在初中数学的学习中具有极为广泛的应用，它贯穿于整个初中数学课程的始终，因此，在熟练掌握乘法公式的基础上，应逐步培养“活学”与“巧用”的技能。实践表明，乘法公式的“活学”与“巧用”对于启迪思维、拓宽视野大有裨益，是提高学习效率、增强学习效果、加强知识联系、优化思维品质的有效途径。