江苏省苏州中学 王思俭

春雨池畔长条椅周围，几位同学纷纷议论刚结束的测试题：

第12题寻找出角与边的关系式，三角形的面积无论用哪一个量表示，运算量都很大；将正弦用余弦表示，再用边表示，看看就吓死人了；

消去边容易，然后化为三角问题，可以求导解决；

我是建立直角坐标系寻找底边和高的关系式，然后用基本不等式求解；

我联想到阿波罗尼斯圆，研究动点A的轨迹；……

于是我加入他们的讨论行列，多角度、多层面探究求解策略，旨在培养学生合作学习、智慧学习、自主学习的数学思维品质．

生甲：已知△ABC为等腰三角形，AB=AC，BD是其腰AC的中线，且BD=3，则△ABC面积的最大值为_______．

我是选择顶角为自变量的，运算量较大．如图1，设∠BAD=α（0＜α＜π），AB=2x，则AD=x，由三边关系得1＜x＜3，在△ABD中，由余弦定理得：9=4x2+x2-4x2cosα，于是所以当时，S取得最大值6．

图1

教师：这种解法是通过边和角的关系，以边代角，把面积问题转化为边的函数，从而求得最值．此题是“2008年江苏高考题：满足条件的△ABC的面积的最大值”的变题．同学们还有其他解法吗？

生乙：我也是选择角作为自变量的，但后面是以角代边，即从而得到问题转化为求函数的最值问题．设求导得：当cosα=时取得最大值，此时

生丙：应该列表讨论后，才能说cosα=时取得最大值．

教师：正确！本题是填空题，一般地，在开区间内求出一个驻点，那么就是最值点，把这种函数称为单峰（或单谷）函数．导数法是同学们比较容易想到的方法，但对分式函数的求导容易出错．对于这类三角函数最值问题，除了用求导，还可以用其他的方法来解决．

生丙：利用弦函数的有界性求解，S=，把分母乘到左边得：5S-4Scosα=18sinα，

移项得：18sinα+4Scosα=5S，利用辅助角公式得

教师：很好！这种方法也称之为整体代换法，引入辅助角是解决这类问题的基本方法．你们还有其他方法吗？

生丁：将看作是点M（5，0）与点N（4cosα，-sinα）的斜率k，我是直接构造椭圆方程求解，因为0＜α＜π，所以点N（4cosα，-sinα）表示的是椭圆1（-1＜y＜0）的下半部分．直线y=k（x-5）（k＞0）与曲线联立，化简整理得，（1+16k2）x2-160k2x+16（25k2-1）=0，根据方程有解，因此Δ≥0，解之得故S=18k≤6．

生戊：我是先化简构造圆求解，S=可以看做点与点N（cosα，-sinα）的斜率k，因为0＜α＜π，所以点N（cosα，-sinα）表示的是单位圆的下半部分，利用圆心到直线距离d=，解之得，因此Smax=，此时

图2

生丙：直接利用圆的性质求解，由图2可知当过M的直线与半圆相切时，斜率k最大，此时，此时S△ABC=，此时可算得N点坐标，即时取最值．

生己：利用平面向量数量积与相应不等式求解，即4pcosα+sinα=5p，构造向量a=（cosα，sinα），b=（4p，1），于是5p=4pcosα+sinα=a·b．又因为a·b=｜a｜｜b｜cosθ≤｜a｜｜b｜=1×因此，两边同时平方得，9p2≤1，所以故S=，即S的最大值为6，此时当且仅当a与b同向时取“=”，即即

教师：很好！你们四位是利用几何直观法，构造几何图形——圆、椭圆和向量，再用圆的性质求解，或者直线与曲线的位置关系求解，或者平面向量的几何意义求解．就三角形式，你们还有其他想法吗？

生甲：也可以利用万能公式和判别式法求解，因为代入化简可得即9St2-36t+S=0有解，因此Δ=362-4×9S2≥0，即0＜S≤6，所以S的最大值为6，此时

生乙：万能公式换元后，利用变量相对集中到分母上，直接利用基本不等式求解．，当且仅当t=即时取最值．

教师：正确！你们将三角问题又转化为代数问题，利用判别式或基本不等式求解．还有什么想法吗？

生丙：也可以选择底角∠C作为自变量，设BC=a，AC=AB=b，则．分别在△ABC和△DBC中使用余弦定理，得b2=a2+b2-2abcosC且abcosC，则有a=2bcosC，求出b2=又因为S=b2sinCcosC，代入化简得再弦化切有S=利用基本不等式，于是Smax=6，当且仅当tanC=3时取到最大值．

教师：很好！底角形式的目标函数与上述顶角的形式存在一定的关系，你们能发现吗？

生丁：由于A=π-2C，因此sinα=sin2C，cosα=-cos2C．也可以直接找出a与b的关系式，即因为S=将代入化简得再将b2=36-2a2代 入 得，，由基本不等式得8，所以Smax=6，此时a2=8，即

教师：很好！通过底角直接找出底边和腰长的关系式，运用基本不等式或配方法求解．

生戊：也可以找出高与底边的关系，如图3，取BC中点，设为E，设AE与BD相交于点O，则O为△ABC的重心．设AE=h，BC=a，在Rt△BOE中，于 是 有即三角换元法，设a=4cosθ，h=6sinθ，因此，所以当时，Smax=6．

生乙：因为，于是，所以ah≤12，因此Smax=6．

生己：其实在Rt△BOE中，设OE=x，BE=y，OB=2，则x2+y2=4．又因为BC=2y，AE=3x，因此6，当且仅当时，等号成立．

教师：很好！你们从中线（或者底边上的高）出发，找出底边与高的关系式，又给出三种解法，这两个关系式都具有其几何意义，前者是椭圆方程，后者是圆的方程．你们还能想到别的思路吗？

生甲：建立直角坐标系求解，以E为原点，BC所在直线为x轴，EA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图4，设A（0，h），所以由BD=3得：9，即9a2+4h2=144，144=，所以ah≤12，即S△ABC≤6，当且仅当时取等号．

图4

生乙：因为BD为中线，因此S△ABC=2S△ABD．抓住BD=3，AB=2AD，研究动点A的轨迹，以点B为原点，BD所在直线为x轴，过B与BD垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，设A（x，y），D（3，0），则即（x-4）2+y2=4，点A的轨迹为以（4，0）为圆心，以2为半径的圆，yA的最大值为2（yA指A的纵坐标），所以

图5

生丁：由题意可知：AB=2AD，且BD=3，以BD所在直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图5，则B（-2，0），D（1，0），设A（x，y），由AB=2AD得，即（x-2）2+y2=4，而，易得yA的最大值为2，所以（S△ABC）max=3×2=6．

生己：此题可以推广到一般情形：

在等腰三角形△ABC中，AB=AC，D在线段AC上，AD=kAC（0＜k＜1），且BD=l为定长，求△ABC面积的最大值．

可算得S最大值本题便是当的特殊情况．

教师：很好！当我们抓住等腰三角形的特征，即作底边的中线AE及AB=2AD，于是又联想到阿波罗尼斯圆，再利用解析法求解．你们给出三种不同的建立坐标系的方法，可以将几何问题转化为代数问题，也是一种比较通用的方法．无论是以角代边还是以边代角，都是对原图形直接的代数计算，而解析法则是用代数方法研究几何问题．解析法溯源来自“苏教版必修2教材习题2．2（1）第10题”，以及“苏教版选修2-1教材2．6．2求曲线的方程例2”．并且2008年江苏高考13题以及2006年四川高考第6题，以及2008年四川高考的12题都考了这一知识点．

本题给出五种思路十二种方法，从数到形，从几何到代数，全方位对这道题进行了解读．一题多解对一道题涉及的各方面知识要进行不同角度、不同层面的深入研究，目的是将这道题做“深”、做“透”、做“广”．这样有利于全面、系统地掌握解题规律以及知识之间的联系，同学们在数学学习中适当地运用可以起到意想不到的作用，真正感悟到数学的美．