甘志国

(北京市丰台二中 100071)

2019年中国科学技术大学自主招生数学试题共包含8道填空题和3道解答题，涉及集合(第8题)、函数(第10题是用导数解决函数零点问题，第11题是多项式)、三角(第2题)、数列(第5题)、不等式(第1题是线性规划，第3题是均值不等式)、平面解析几何(第4题)、立体几何(第9题)、复数(第6,7题)，其中第10题要用数学归纳法来证明，第11题要用数学归纳法来证明.试题难度是中等.解得由笔者给出.

1.满足|x+2y|+|3x+4y|≤5(x,y∈R)的点(x,y)所构成的区域的面积是.

2.方程sin2x+cos3x=0(0

6.已知P1(1,0)，O为坐标原点，把线段OPi绕坐标原点O按顺时针方向旋转θ至线段OQi(i=1,2,…).若Pi+1是Qi关于y轴的对称点，则点P2019的坐标是.(用θ表示)

8.若正整数x1,x2,x3,x4满足{xixjxk|1≤i

9.已知△D1D2D3的三边长分别是D1D2=12,D1D3=10,D2D3=8，沿△D1D2D3的三条中位线把该三角形折叠成四面体，求该四面体的体积.

11.若n∈N*，求证：存在多项式P(x)，使得cosnθ=P(cosθ).

参考答案

1.25.可得题设中的区域由下面的四块组成(设O是坐标原点)：

注由以上解法，可得题中的区域是ABCD及其内部，其中点A,B,C,D的坐标分别是(5,-2.5),(-10,7.5),(-5,2.5),(10,-7.5).可求得直线AB,CD的距离是所以题中的区域的面积是

2.6π.原方程即

进而可得答案.

由三元均值不等式及x>0，可得

再由累加法，可得

又由累加法，可得

进而可得P1(1,0),P2(-cosθ,sinθ),P3(1,0),P4(-cosθ,sinθ),…，还可用数学归纳法证得P2k+1(1,0),P2k+2(-cosθ,sinθ)(k∈N)，所以P2019的坐标是(1,0).

z2+z+3=(a+bi)2+(a+bi)+3=(2a2+a+2)+b(2a+1)i,

8.14.由题设，可得当1≤i

还可得下面的三种情形：

综上所述，可得x1+x2+x3+x4=14.

如图3所示，可得四面体ABCD的体积为

注由此解法还可证得下面的结论：若一个四面体的三组对棱长分别相等且分别是a,b,c，则该四面体的体积是

10.(1)先用数学归纳法证明当n是正奇数时，f(x)≥0.

当n=1时，可得f(x)=ex-1-x，用导数易证得f(x)≥0.

再由g(0)=0可得：当x<0时，g(x)<0；当x≥0时，g(x)≥0.

当n=2i+1时，可得f′(x)=g(x).

所以f(x)≥f(0)=0.

得f(x)≥0.

进而可得欲证结论成立.

(2)再证当n是正偶数时欲证结论成立.

综上所述，可得欲证结论成立.

11.证法1 我们用数学归纳法来证明cosnθ,sinθsinnθ均能表示成cosθ的整系数多项式.

易证n=1时成立：sin2θ=1-cos2θ.

假设n=k(k∈N*)时成立：coskθ,sinθsinkθ均能表示成cosθ的整系数多项式.

当n=k+1时，由

cos(k+1)θ=cosθcoskθ-sinθsinkθ

sinθsin(k+1)θ=sinθsinθcoskθ+sinθsinkθcosθ

=(1-cos2θ)·coskθ+sinθsinkθ·cosθ

及归纳假设知，n=k+1时也成立.

所以欲证结论成立.

证法2我们用步长为2的数学归纳法来证.

(1)当n=1,2时，欲证结论均成立：cosθ=cosθ,cos2θ=2cos2θ-1.

假设n=k,k+1(k是正整数)时均成立：coskθ,cos(k+1)θ均是有理数.

当n=k+2时，由

2cos(k+2)θ=2cosθcos(k+1)θ-2sinθsin(k+1)θ=2cosθcos(k+1)θ+cos(k+2)θ-coskθ,

cos(k+2)θ=2cosθcos(k+1)θ-coskθ

及归纳假设知，n=k+2时也成立.

所以欲证结论成立.

证法3 由棣莫佛(De Moivre，1667～1754)公式，可得

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ(n∈N*).

再由二项式定理，将该式左边展开后与右边相比较可得

当n=2k-1(k∈N*)时，可得

当n=2k(k∈N*)时，可得

再由sin2θ=1-cos2θ，可得欲证结论成立，且题设中的P(x)是整系数多项式.

注1.本题与2010年高考江苏卷第23题如出一辙，这道高考题是：

已知△ABC的三边长都是有理数.

(1)求证：cosA是有理数；

(2)求证：对任意正整数n,cosnA是有理数.

2.本题与2010年高考福建卷文科第16题也联系紧密，这道高考题是：

观察下列等式：

(1)cos2α=2cos2α-1；

(2)cos4α=8cos4α-8cos2α+1；

(3)cos6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1；

(4)cos8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1；

(5)cos10α=mcos10α-1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α-1

可以推测，m-n+p=．