SG3左半定义域上的Dirichlet边值问题

2019-12-19蔡洁洁吴波

浙江大学学报（理学版） 2019年6期

蔡洁洁，吴波

（南京财经大学应用数学学院，江苏南京210023）

0 引言

自1828年，英国人GREEN引入了一个以其姓命名的重要函数后，格林函数在数学物理方法中一直扮演着十分重要的角色。

格林函数在数学物理领域是一个十分重要的概念，经常出现在常微分方程、椭圆型和抛物型偏微分方程的边值问题中。利用格林函数可以将微分方程的边值问题转化为积分方程。求解Laplace方程、Helmholtz方程等，关键在于确定相应的格林函数，而确定格林函数的难度取决于边界形状。

ROBERT[1]和JUN[2-3]研究了[0,1]区间上的Dirichlet边值问题，试图求出该边值问题的解，利用文献[4]中Sierpinski垫片上微分方程的辅助计算给出了格林函数的表达式。ROBERT[1]首先通过“帐篷函数”，将[0,1]区间上的格林函数推广到Sierpinski垫片，并且得到了Sierpinski垫片上格林函数的表达式。

本文的研究主要基于文献[5]，一开始通过不同的位置，对Sierpinski垫片进行水平切割，得到不同Sierpinski垫片的上半定义域；在讨论过程中给出了Sierpinski垫片特定定义域上Dirichlet边值问题的解的延拓算法和具体表达式；同时也刻画了在Sierpinski垫片特定定义域上的所有调和函数的特点。紧接着，JOHN等[6]和GUO等[7]将其推广到一般的情形。ROBERT[8]也讨论了Holder-Zygmund、Besovan和Sobolev 3种不同分形类型的函数空间，为解决不同的自相似图形上的Dirichlet边值问题提供了新的思路。JUN[9-10]探讨了在p.c.f自相似集上的调和函数的相关计算。本文所涉及的调和函数的一些性质可参见文献[9-10]。

LI等[11]沿着SG的底边中心点进行垂直切割，得到新的自相似图形；在此基础上研究了SG上的左半部定义域的一些性质，以及在该定义域上的Dirichlet问题；尝试求解Dirichlet问题的解的具体表达式，并探讨在该定义域上的正则导数与能的估计范围。

受QIU等[12-15]的启发，笔者试图对SG3进行适当的切割，研究SG3上的某一部分的定义域,探讨在该定义域上是否有类似于Sierpinski垫片上的性质和定理。

1 预备知识

定义1[14]设m∈N具迭代水平，对于

其中，

定义2[1]记x～my当且仅当x≠y并且x,y∈Vm同属于一个胞腔。

定义3[1]设m∈N,则SGl的第m次迭代Γm上离散的电阻形式可由下式给出:

εm(u,v)=r-m(u(x)-u(y))(v(x)-v(y)),

其中，u,v是定义在Vm上的函数

图1给出了SG3上的前2次迭代Γ1，Γm。

图1 SG3上的Γ1，Γ2Fig.1 Γ1，Γ2ofSG3

定义4[10]定义为函数u的能，并且u属于dom ε当且仅当ε(u)＜∞。

定义5[10]定义SGl上的电阻形式为

其中u,v∈ dom ε。

定义6[1]函数u在边界点qi∈V0的正则导数可通过下式定义:

类似地，也可得到其他点的正则导数的表达式。

定理1[10]调和函数h满足平均值性质，也就是说，对于每一个迭代水平m≥1，有

定理2[1]（高斯-格林公式）假设u∈dom Δμ，则对所有的qi∈V0，有正则导数∂nu(qi)存在，并且

命题1[10]考虑SGl的左半定义域上Ω的Dirichlet问题

则方程（1）有唯一解。

注证明过程需用到文献[15]中的引理8.2。

在等边三角形底边的中点处，沿垂直底边进行切割，得到的是SG3的左半部分。第1次迭代后，会产生2个相同的三角形，分别为F1SG3和F5SG3，以及2个半直角三角形F0和F3。在第2次迭代中，将2个大的三角形固定不动，依据SG3原有的迭代规则对2个直角三角形进行2次迭代，依次进行，得到新的图形，如图2所示。所得到的图形具有自相似结构。现在来研究此图形的性质。

定义7[10]SG3上的左半定义域Ω可由水平集上的斜对称调和函数ha来定义，其中ha在V0上的函数值记为，因此