1 引子

2019年高考数学全国1卷的选择题第四题有关“维纳斯身高”的问题引起了各方热议，笔者注意到网络上有人说该题是初中题目，甚至还有人说这题小学生都可以做.笔者认为小学生能否做存在争议（有些优秀的小学生当然没问题），但本题拿给初中生做并没有超出知识范围，因为本题考查的知识点主要是比例、不等式等问题，而对于黄金比例这个数学知识（文化），许多版本的初中教材都有提到，因此说此题初中生能做是没问题的.事实上有部分题目特别是一些平面几何问题，既可以用高中教材讲到的知识和方法去做，也可以用初中教材所讲的知识和方法去做，两类方法的思维差异何在？对教学有什么启示？

笔者自工作以来在高中从教十三年，直到去年到农村初中支教一年，担任初三数学的教学工作，对初高中考试或练习中都可以出现的一类平面几何问题进行了初步的研究，也收获了几点教学上的感悟，现整理分享如下，权当抛砖引玉.

2 例题分析

例1 如图1，F为正方形ABCD边CD上一点，连接AC、AF，延长AF交AC的平行线DE于点E，连接CE，且AC=AE.求证：CE=CF.

思路分析 初高中的知识储备不一样，导致了解题分析的视角不一样.高中生见到这个题目的已知条件，注意到已知条件中AD和AE的长度是有关系的，又易得∠ADE=135°，因而容易从综合法的角度分析问题，利用已知条件在△ADE中使用高中熟悉的正弦定理来得出sin∠AED=12，进而得到∠CFE=∠CEF=75°，即证CE=CF.

高中解法 由已知条件易知∠ADE=135°，AE=AC=2AD，在△ADE中，由正弦定理有ADsin∠AED=AEsin∠ADE，化简得ADsin∠AED=2ADsin135°，所以sin∠AED=12，即得∠AED=30°，因为AE=AC，所以∠FEC=180°-30°2=75°，又因为∠EFC=∠FAC+∠ACF=30°+45°=75°，所以∠FEC=∠EFC，所以CE=CF.

而对于初中生来说，要证明CE=CF往往是证明两边的对角相等，如果∠EAC的大小能求出则问题得到破解.由经验可知初中阶段求解的角一般都是特殊角，如30°和45°等，并且在求角的过程中往往需要构造直角三角形，结合本题中DE∥AC的条件，过点E作EH⊥AC于H，构建出直角三角形△AEH容易发现EH=12AE，从而得出∠EAC=30°.

初中解法 过点E作EH⊥AC，垂足为H，如图2所示.因为DE∥AC，所以EH=AD·sin45°=22AD，又因为AE=AC=2AD，所以EH=12AE，所以∠EAH=30°，因为AE=AC，所以∠FEC=180°-30°2=75°，又因为∠EFC=∠FAC+∠ACF=30°+45°=75°，所以∠FEC=∠EFC，即证CE=CF.

点评 高中解法关注三角形中的边与角是否存在数量关系，而不太关注边与角的条件是否足够特殊，而初中解法由于只能用最基本的定理和性质来解决问题，所以更关注题目条件的特殊性，以此为突破口并结合基本活动经验来处理问题.

例2 如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，点D在AB上，且有∠BDC=30°，求证：AD=BC.

思路分析 对于高中生来说，注意到已知条件中有边的关系，又有角的条件，容易想到利用正弦定理来寻找AD、BC的关系.

高中解法 因为AB=AC且∠BAC=20°，所以∠B=∠ACB=80°，因为∠BDC=30°，所以∠DCA=∠BDC-∠BAC=10°.

在△ACD中由正弦定理有DCsin20°=ADsin10°，所以AD=12cos10°DC.

在△BCD中由正弦定理有DCsin80°=BCsin30°，所以BC=12cos10°DC，所以AD=BC.

而對于初中生来说，证明两条边的长度相等往往需要证明两边所在的两个三角形全等，而其中的难点在于往往需要添加辅助线构造三角形.对于此题来说，还不能直接构造两个三角形，需要注意到已知条件中几个角的特殊关系，结合△ABC是个等腰三角形的条件，添加几条辅助线构造两个直角三角形.

初中解法 过点A作BC的垂线，垂足为E.过点A作CD的垂线，垂足为F，如图4所示.

因为AB=AC且AE⊥BC，所以BE=EC，∠EAC=10°.

因为∠BDC=30°，所以∠DCA=∠BDC-∠BAC=10°.

又因为∠AFC=∠AEC=90°且AC=AC，所以△AFC△AEC，所以AF=EC.

因为∠BDC=30°且∠AFD=90°，所以AD=2AF，又因为BC=2EC，所以AD=BC.

点评 高中解法是一种从定量的角度处理的方法，只要借助正余弦定理或者勾股定理沟通已知条件与所求目标的关系，后面基本是常规的化简运算.所以从高中解法的角度来说，例1和例2的解题思想都是一样的，两个题目本质上属于同一类型题;而对于初中解法来说需要从条件的特殊性出发，“量身定制”必要的辅助线，选择恰当的解题方法.通过例1和例2的具体解答可以发现，因为题目条件的不同，两题初中解法的具体思路和解法还是有很大差异的.

例3 如图5，AB=AC，∠CAB=90°，∠ADC=45°，AD=1，CD=3，求BD的长度.

思路分析 从高中生思维角度出发，由已知条件AD=1、CD=3和∠ADC=45°容易想到使用余弦定理可以求出AC，这样要求BD只需在△ABD中再一次应用余弦定理即可.

高中解法 在△ADC中由余弦定理得

AC2=AD2+DC2-2DA·DC·cos∠ADC=10-32，所以BD2=AD2+AB2-2AD·AB·cos∠BAD=AD2+AC2-2AD·AB·cos（90°+∠DAC）=1+10-32+2AD·AB·sin∠DAC=11-32+2AD·AC·sin∠DAC=11-32+4S△ADC=11-32+4×12×1×3×sin45°=11，所以BD=11.

而此题对于初中生来说，求解目标BD的基本活动经验是往往需要借助BD所在的一个直角三角形使用勾股定理来解决，然而本题的难点在于现有已知条件中并没有含BD边的直角三角形，这需要学生自己去构造出来.

初中解法 过点A作AE⊥AD交DC于E，因为∠ADC=45°，AE⊥AD，所以∠AED=45°，所以△ADE是等腰三角形，所以AD=AE，DE=2AD=2.

因为AD=AE，AB=AC，∠DAC=90°+∠CAE=∠EAB，所以△ADC△AEB，所以BE=CD=3且∠AEB=∠ADC=45°，所以∠DEB=∠DEA+∠AEB=45°+45°=90°.

在△DEB中，由勾股定理有BD=DE2+EB2=2+9=11.

点评 本题的高中解法思路非常清晰，容易入手，计算量也不大.而初中解法的本质思路可以看成是基于△BAC是等腰直角三角形以及∠ADC=45°这种特殊条件，可以考虑将△ADC绕点A逆时针旋转90°，得到△AEB，然后证明△DEB是直角三角形.事实上按照利用旋转三角形解决几何问题的思想＼[1＼]，本题还可以将△DAB绕点A顺时针旋转90°，后面解答过程类似.通过对比不难发现，高中解法强调的是通过代数角度寻找到边与角之间的关系，是一种通法;初中解法虽然强调利用构建直角三角形通过勾股定理解决问题这种常规思路，但在此类并没有直角三角形作为已知条件的问题中，往往需要一些添加辅助线的技巧，并且能使用这些技巧还需观察到这个条件所具备的特殊性.正是因为这个原因，此题放在初中阶段属于难度较大的题目.

例4 如图7，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD上的点，且EF=DF+BE，求∠ECF的度数.

思路分析 从高中生思维出发，一看目标是求角就能自然想到利用余弦定理求∠ECF的余弦值，接下来就是把△ECF的三条边表示出来，剩下的事情就是计算.

高中解法 不妨设正方形的边长为1，DF=x，EB=y，因为EF=DF+BE，故有EF=x+y，在直角三角形AEF中由勾股定理有（x+y）2=（1-x）2+（1-y）2，化简得x+y=1-xy，在△CEF中由余弦定理有cos∠ECF=（1+x2）+（1+y2）-（x+y）22（1+x2）（1+y2）=1-xy1+x2+y2+x2y2=1-xy1+（1-xy）2-2xy+x2y2=1-xy2（1-xy）2=22，所以∠ECF=45°.

从初中生的思维角度出发，考虑到既然此题可以让初中生做，那么∠ECF的度数一定是特殊角，并且往往与已知条件的特殊角有关，结合图象的直观想象，容易猜想∠ECF=45°，然而如何真正求解出這个角来却不容易想到.从目标出发，要证明∠ECF=45°可考虑证明∠ECF=∠ECB+∠DCF，而∠ECB与∠DCF并不是挨在一起，所以可以考虑将其中一个角旋转到另一个角旁边，合并成一个新的角，然后再证明这个新的角与∠ECF相等，此时又可能需要先证明两个角所在的三角形全等.另外从已知的条件EF=DF+BE也可以猜测到需要将DF和EB转到同一条线段上，这样便得到新的两边相等的条件，然后同样是考虑证明两边所在的三角形全等.结合目标所求和已有的特殊条件，将△CDF逆时针旋转90°（或者将△CEB顺时针旋转90°）是破解此题的关键步骤.

初中解法 将△CDF绕点C逆时针旋转90°得到△CBG，由旋转的性质有∠CBG=90°，即有E、B、G三点共线，CF=CG，DF=BG，∠DCF=∠BCG.因为EF=DF+BE，所以EF=DF+BE=BG+BE=EG，又因为CE=CE，所以△CFE△CGE，所以∠ECF=∠ECG，又因为∠ECG=∠ECB+∠BCG=∠ECB+∠DCF，所以∠ECF=∠ECB+∠DCF，又因为∠ECF+∠ECB+∠DCF=90°，所以∠ECF=90°2=45°.

点评 初中解法需要较强的技巧和解题经验，需要不断总结题型及对应的解题“套路”，而高中解法容易想到方法，但计算和化简的过程需要足够的耐心.

例5 如图9，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为

.

思路分析 对初中生来说，两点之间的距离问题往往会转化为跟固定长度的边长作比较，从矩形ABCD的边长比例可以发现取AB的中点E，则有△DAE是等腰直角三角形，另外还有EO是直角三角形AOB斜边上的中线.

初中解法 取AB的中点E，连接OE、DE、OD，因为OD≤OE+ED，所以当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，因为AB=2，BC=1，点E是AB的中点，所以AE=12AB=1，由勾股定理可得：DE=AD2+AE2=2，因为∠MON=90°且E是AB的中点，所以OE=12AB=1，所以点D到点O的最大距离为2+1.

而对于高中生来说更加容易想到利用余弦定理来表示出DO的长度，然后通过函数的角度求最值.

高中解法 设∠OAB=θ，则OA=2cosθ，由余弦定理有DO2=（2cosθ）2+1-4cosθcos（θ+90°）=4cos2θ+1+4sinθcosθ=2（1+cos2θ）+1+2sin2θ=3+22sin（2θ+45°）≤3+22=（1+2）2，所以DO≤2+1，当且仅当θ=22.5°时等号成立.

点评 对于本题显然是使用初中解法要简单直观，而使用高中解法的难点主要在于选取什么作为自变量，其次是表达出目标函数后求最值有些复杂，需要点耐心.

例6 如图10，E为等边△ABC内的一点，CE平分∠ACB，D为BC边上的一点，且DE=CD，连接BE，取BE的中点P，连接AP，PD，AD，试判断AP与PD的位置关系并求出AP与PD的数量关系.

思路分析 对于初中生来说，容易通过图形猜想到∠APD=90°，注意到△ABC是等边三角形，可以考虑尝试将△ADC绕点A旋转60°，得到新的图形后问题就迎刃而解了.

初中解法 如图11，将△ADC绕点A逆时针旋转60°得到△AGB，连接PG.由旋转的性质有GB=DC、GA=DA、∠GAD=60°、∠ABG=∠ACD，又因为△ABC是等边三角形，所以∠ACD=∠BAC=60°，所以∠ABG=∠BAC，所以GB∥AC，由已知易得ED∥AC，所以GB∥ED，又因为GB=DC=ED，所以四边形GBDE是平行四边形，因为P是BE中点，所以PG=PD，又因为GA=DA，所以AP⊥PD，且有∠PAD=12∠GAD=30°，所以AP=3PD.

而对于高中生来说，最直接的思路是将AD、PD和AP表达出来，然后通过余弦定理来判断AP与PD的数量关系.

高中解法 如图12，延长CE交AB于G，连接GP.因为CE平分∠ACB，且△ABC是等边三角形，所以CG⊥AB，且AG=GB.因为P是BE的中点，所以PG=PE=PB，不妨设AC=1、DC=a，因为∠ECD=30°且DE=CD，所以EC=3a.

在△ADC由余弦定理得AD2=1+a2-a，在△BEC中由余弦定理有BE2=（3a）2+1-23a·cos30°=3a2+1-3a，所以PB2=BE24=34a2-34a+14.

在△BDE中由中线性质有4PD2+4PB2=2a2+2（1-a）2，即有PD2=14a2-14a+14，在△ABP中由中线性质有4PG2+4（12）2=2PA2+2PB2，即有PA2=34a2-34a+34，故有PA2+PD2=AD2，即有AP⊥PD，又因为PA2=3PD2，所以AP=3PD.

解法点评 初中解法的思路巧妙但是难以想到，需要熟悉在特殊条件下应用旋转三角形的方法（当然也可以直接构造全等三角形）.而高中解法的思路简单，但要表达出三条边来涉及到多个量，还要熟悉一些常见定理（不用这些定理会更繁琐），整个解法综合性强，计算量大.

3 几点反思

3.1 中学数学教师要明晰自身对初高中几何及学生解题思维差异的理解.

众所周知，教材的编写肯定是要符合学生不同年龄的思维发展水平的.大部分初中生的几何思维基本还处于直观、感性的认知阶段，所以初中教材中的几何内容介绍的都是最基本的几何定理和性质，而且这些定理往往是特殊条件下才能成立的，比如勾股定理的应用需要直角三角形的条件.随着学生思维水平的发展，高中的几何知识部分融入了更多的代数知识，增强了知识应用的普适性，比如说在将锐角三角函数拓展到重新定义的三角函数的基础上，勾股定理被推广到了任意三角形都可以应用的余弦定理，并衍生出沟通边、角和外接圆半径关系的正弦定理.

对于几何中的证明问题，初中生主要借助直观思维和联想思维来处理，比如说要证明两条边相等，可能就会在图形中寻找有没有两个三角形看起来全等，如果感觉图形不够完整，还会考虑添加辅助线构造新的图形.而高中生则因为学习了正余弦定理，对几何图形中边与角的数量条件会有更多的关注，意图从代数的角度将边或角表达出来.

对于几何中的计算问题，初中生往往只能借助于直角三角形的勾股定理、相似三角形以及旋转三角形的性质，注重利用图形的特殊性来解决问题.而高中生则习惯于借助正余弦定理通过代数（方程）的思想来表达和计算，不再过度考虑图形条件是否特殊.从数学的思想方法层面来看，初中的解法往往基于特殊条件下利用特殊的定理和性质来解决问题，而高中的解法则更加注重利用通性通法去解决问题，当然初高中的解法差异主要是由于学习的内容层次不一样和学生的思维水平不一样决定的.

3.2 中学数学教师在几何部分知识的教学中应着眼于学生的思维发展.

对于初中数学教师来说，部分优秀的初中生到了初三特别是中考复习时对初中几何的解题方法应该是非常熟悉了，反复加以训练固然可以提升解题的速度，但对于学生的思维水平来说并没有得到提高，学习的兴趣和好奇心也得不到激发，同时还浪费了宝贵的学习时间.笔者认为可以考虑对少數优生因材施教，将高中教材中的三角函数包括正余弦定理等知识提前讲授或让学生自学.由于这部分高中知识与初中知识关联度大，理解难度较小，学习所需时间较短，因此这些知识对于优秀的初中生是可以接受的，并且可以让学生的数学思想得到较大程度的提高.而对于高中数学教师来说，也应该注意到学生用惯了通过正余弦定理等高中方法来去处理几何问题会产生思维定势，结果碰到像前面提到的有些例题时会遭遇因变量复杂和计算繁琐而难以为继的窘境，因此在教学中应打破高中生僵硬的思维定势，有针对性地选取一些初高中方法都可以做出来的题目，让学生意识到面对具备特殊条件的几何问题，应考虑尝试应用初中的几何方法，完善学生的数学思维，增强学生的应变能力.

参考文献

[1] 邓城.利用旋转法妙解一类解三角形问题＼[J＼].中学教研（数学），2019（7）：23-25.

作者简介 邓城（1983—），男，一级教师，主要从事高中数学教学和研究工作.