胡晋宾 刘洪璐

【摘 要】 合情推理在《普通高中数学课程标准（2017年版）》中的地位并没有被淡化，而是以逻辑推理中的核心素养形式得到强化. 合情推理的教学可以超越归纳和类比的方法讲解以及解题训练，基于主题思想理念中的核心素养和文化观念立意，采用数学文化欣赏的方式开展.

【关键词】 主题思想;合情推理;文化观念

1 开课缘起

《普通高中数学课程标准（2017年版）解读》中提出，“数学主题通常由数学教师根据教学需要来决定，它以重要的数学概念或核心数学知识为主线组织，或以数学思想方法为主线组织，或以数学学科核心素养、基本能力为主线组织”[1]. 2018年11月30日是南师附中一年一度的教学公开日，刘洪璐选择了“合情推理”，以核心素养和文化观念为主题立意，开设了公开课并进行了网络同步直播. 开课之后，苏教版高中数学教材主编、江苏省中小学教研室李善良教授进行了点评，多位专家和同行给予了肯定和鼓励. 以下基于当时的教学录像，对该设计进行梳理和反思.

2 简要流程

2.1 创设教学情境

【情境1】 师：前不久老师嗓子发炎，医生开了一款消炎药，这是药品说明书. （呈现某药品说明书）大多药品说明书上，都有采用动物做实验的疗效说明. 请问：人类药品实验为什么多用老鼠和狗等动物来做？

生1：因为老鼠和人在结构上有相似之处，都是哺乳动物，所以我们可以推断，在动物身上的实验结果可以类推到人类身上.

【情境2】 师：2018年11月27日凌晨3时54分，美国“洞察号”探测器已成功登陆火星，并传回了首张照片. （呈现图片等）这是时隔6年多，人类探测器再次登陆火星. 人类对于火星的探测从未停止，其中一个重要的话题就是，火星上是否有生命存在？对比表1，你的观点呢？

生2：我推测火星上可能有生命存在.

师：这位小科学家，（出示）【问题1】请问你做出这样的猜想的推理过程是怎样的？

生2：因为火星在结构上具有很多和地球相似的特征，所以我由地球存在生命，推测出火星上有可能有生命存在.

师：【情境3】大家知道鲁班发明锯子的故事吗？你能给大家讲讲这个故事并说明鲁班发明锯子的思路吗？（呈现鲁班及发明锯子的图片等）

生3：（简述鲁班发明锯子的故事略）我觉得鲁班发现小草是齿形的，可以划伤人，从而从结构上的相似性，即如果有一样东西也是齿形的边缘，那么它们在功能上也应该是相似的，即可以割断东西.

2.2 引出类比推理

师：像这样的由两类对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理通常称为类比推理. 其实，这样的推理在数学中也很常见，比如：类比平面向量，学习空间向量;类比等差数列，学习等比数列;类比平面几何，学习立体几何;等等. 所以，著名数学家G·波利亚曾说：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往依赖于平面几何中的类比问题. ”（配图和名言）既然如此，我们来看下题.

【问题2】 如下图，在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得c2=a2+b2. 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中相关的猜想.

勾股定理的空间猜想生4：（上黑板简述猜想过程和证明思路）从平面中的三角形，我想类推到空间中四面体的相关性质，而且是直角三角形，所以就类推到3个侧面两两垂直的四面体P-DEF中的相关性质. 在平面上是边和边之间的关系，类比到空间中就想到面积之间的关系，从而有以下的猜想：设∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°. S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，S2=S21+S22+S23. （该生给出了大致证明，过程省略）

师：这个猜想是否成立，需要严谨论证. 因为时间关系，课后自行完善. 教师出示【问题3】你能再举几个数学中，类比推理的例子吗？

生：学生们讨论踊跃，有的根据平面三角形面积和内切圆半径的关系S=12（a+b+c）r，其中，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，类比到空间中得到四面体的体积为13（S1+S2+S3+S4）r，（S1，S2，S3，S4为4个面面积，r为内切球半径）有的类比平面上圓的性质得到空间中球的性质，等等.

师（追问）：刚才大家列举的都是几何方向的类比，有没有代数方向的类比？（学生讨论略）实数运算中加法和乘法是一对非常典型的可类比对象，我们类比实数的加法和乘法，可以列出它们相似的运算性质：①在结果方面，两个实数经过加法运算或乘法运算后，所得的结果仍然是一个实数;②在运算律方面，加法和乘法都满足交换律和结合律;③在逆运算方面，加法和乘法都有逆运算，分别是减法和除法;④在单位元方面，加法和乘法都有单位元，分别是0和1. （表2）法国天才数学家伽罗瓦提出数学中“群”的概念，用来表示具有封闭性、有单位元、有可逆元和满足结合律这样4条运算性质的集合. “群”的概念，是数学中非常重要的概念和内容. 此外，我们有《对称与群（选修34）》教材. （呈现伽罗瓦图片及《对称与群（选修34）》书影）

师：【问题4】类比推理的结论一定是正确的吗？（学生认为不一定，但是举例有困难，某生说将三角形3条高交于一点类比到空间四面体中去，但是没有说清，留作课后思考作业）

师：历史上，斐波那契就曾经想类比圆的周长公式“得到”椭圆的周长公式. （呈现斐波那契和阿基米德图像，以及菲尔兹奖等相关信息）提及此事，先要追溯一下古希腊数学之神阿基米德，数学界的最高奖菲尔兹奖奖章的正面就是阿基米德的头像. 阿基米德在《论劈锥曲面体与球体》中提出了椭圆的面积公式是S=πab（a，b是椭圆长半轴和短半轴长）. 于是斐波那契根据圆及其外切正方形周长和面积满足关系C圆C方=S圆S方=π4，类比到椭圆上，猜想如果椭圆及其外切矩形的周长之比也能满足关系C椭C矩=S椭S矩=π4，就可以得到C椭=π（a+b）. 遗憾的是，这个类比的结论是错误的. 根据微积分知识，可以写出椭圆周长的定积分公式，但由于被积函数的原函数不是初等函数，所以椭圆周长没有简洁的初等公式（虽然有近似公式，但是不精确）.

第三，毋庸讳言，日常教学中我们确实关注更多的是演绎推理. 考虑到此次授课学生的基础比较好（年级中程度最好班级），对于他们来说，关键不是吃不吃得饱的问题而是吃不吃得好的问题，学会怎样提出与发现问题比分析与解决问题更为关键. 对于他们来说，开阔数学视野、培养数学兴趣比具体学习知识、解决问题，即便不是更为重要也是同等重要. 具体结合本次公开课，我们以合情推理为载体和纽带，借助问题串这一思维线索形式，串联起既往数学知识和数学故事，进行了数学文化的欣赏尝试.

3.2 关于教学主线的立意定位

本节课中，我们选择核心素养和文化观念作为两个主题思想进行设计突破.

第一，在核心素养路径方面，具体体现在：用类比的观点来审视，既往空间向量、等比数列和立体几何的学习，分别是通过平面向量、等差数列和平面几何类比得到;实数的加法和乘法可以作类比，并提炼出“群”的概念;斐波那契数列递推公式，可以通过归纳轻松得到;哥德巴赫猜想乃至费马大定理等著名数学问题，也可从归纳中得到验证. 等等. “三会”的巧妙运用：用数学的眼光来看待新药试制、锯子发明、火星猜想，用推理的思维来解读一叶知秋等谚语，用生活中的素材比如吃药等作为课程资源，用学科交叉的情境来阐述合情推理. 等等. 上述设计体现的设想是：数学知识的内部是有前后联系的，数学知识和生活以及其他学科是互动的，数学思维就在身边并且无处不在，数学学习不仅要关注知识技能而且要关注能力素养.

第二，在文化观念路径方面，数学学习不仅仅是知识的学习、能力的提高，而且有思维的养成和文化的熏陶. “数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动”[2].本节课中，我们采用了许多数学史的经典内容，巧妙穿插在教学过程中，有意识地渗透数学文化欣赏.设计传递的观念是：人事有代谢，往来成古今;数学是由人来发展和完善的，不是与人无关的、不食人间烟火的;数学的发展不是一帆风顺的，而是可误曲折的;演绎推理只是数学的一个侧面，合情推理在创造发明中功不可没;数学是生动有趣的、富有人情的，而不是高高在上的、枯燥乏味的.

参考文献

[1] 史宁中，王尚志. 普通高中数学课程标准（2017年版）解读＼[M＼]，北京：高等教育出版社，2018：253.

[2] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版）＼[M＼]. 北京：人民教育出版社，2018：10.

作者简介 胡晋賓（1975—），男，正编审职称（正高），博士，主要从事数学课程与教学论的教学及研究等工作.

刘洪璐（1979—），女，中教高级职称，硕士，主要从事高中数学教学设计与研究等. 南京市优秀青年教师，2010年第五届全国青年数学教师优秀课展示活动一等奖获得者.