高等数学极限概念教学难点分析及其突破

2019-12-02刘苏兵李钰安徽机电职业技术学院

数码世界 2019年3期

刘苏兵李钰安徽机电职业技术学院

作为微积分理论的重要组成部分，极限是微积分教学过程中一个重要的组成部分，在高等数学的教学过程中，面对出现的问题作为教师不能回避，只能直面教学中的苦难，尤其是在ε精确定义的过程作为教学的一个难点，多年来一直困扰着广大的一线教学人员。总之，多年以来有很多专家学者对极限进行了研究，但是教学过程中的问题并没有得到切实的解决。为此，我们认为，极限概念教学的过程中必须要有一个全面的认识，这样才能精准解决教学中的逻辑结构问题，但是理论提出并为问题的解决提供多大的帮助。

本文从极限概念的教学重难点为突破点进行分析，力求找出极限概念教学过程中遇到的难点，为何会出现这样的难点，然后寻找行之有效的解决策略。

一、极限概念教学的难点

极限概念经常出现在《微积分》、《高等数学》、《数学分析》的教材中，其概念难点多且密集并与后续学习内容具有很强的逻辑联系，具体主要有以下几方面的体现：

（一）对极限概念的教学时学生易产生混淆

极限概念的定义是“若当x无限接近于a时，则有函数f（x）的值是无限接近于L，则称L是函数f（x）当x趋近于a时的极限，记为”但是对于这个定义的说法是不够严密的，教学的过程中教师也会这样解释“当自变量与某个数值越来越接近时，就是函数的极限了”。这样说学生则会认为函数的极限是永远达不到的一个数，或者是说在某个点上会接近某个数值，但是这种理解是不对的，如果当常值函数f（x）≡1，在任何情况下无论x怎么变化，f（x）都不是越来越接近于1，而是始终等于1，然而其极限却是1，由此可以说，函数极限的函数值是一种趋势，也要就是即将要达到。

（二）定义种类繁多且较为抽象

极限的ε精确定义多达28种，面对这么多的字母表达的内容学生非常容易混淆，并且在教学的过程中面对函数值的变化一会儿是“任意ε＞0”，一会儿是“任意M＞0”这样自变量的极限点的领域就变得左右不定了，学生在学习的过程中就会造成理解上的偏差，学习的过程中就会出现各种各样的错误，并且还会发生张冠李戴的现象。

（三）用精确定义验证极限有难度

1、用ε精确定义验证极限，证明形式独特

这里说的证明和我们常规的证明是有一定的区别的，平常的证明都是由已知向目标进行逻辑推理证明，这种证明的条件是结论的必要条件，但是在极限的证明过程中，往往采用的就是通过结果找到已知，看一看是否能够完全符合，这样的过程就是通过结论去找寻充分条件。

2、需证明的极限种类繁多，且各类证明之间差异较大

极限的定义多达28种，但是学习的过程中我们要求学生进行精确的验证，但是不同类型的极限是需要不同方法证明的，但是这个过程有很大的差异性，学生学习过程就要熟记这种差异。

3、用ε精确定义验证极限的技巧性强

强技巧性是ε精确定义的一大特点，但是这个过程是非常不易掌握的，对于多个已知的筛选和缩放，对于附加条件的选取并合并；复合函数中内外条件嵌套的技巧等。

4、学生不易将证明过程表述清楚

极限的学习具有强抽象性与逻辑性的，但是在验证的过程中需要采用多种的技巧与种类繁多的知识，面对这样的问题学生很难将证明的过程进行表达，也是极限概念学习中最困难的部分。

二、极限概念教学难点的突破策略

作为教师要解决教学中遇到的问题就需要自己依据学生的特点来找寻教学的新思路，这样才能突破教师教学的窘境，能够提高学生的学习效果。

（一）各个击破，分散难点

极限的学习过程中面对众多的教学难点要各个击破，这样才能提高学生学习的扎实程度，提高学生学习的效果，也能提高教师的教学效率。

1、部分难点前置

教师教学的过程在掌握教材编排的基础上，进行小范围的更改，可以将难点进行前置，例如：取整、任意大小的区分等。

2、将数列极限的内容后置于“级数”一章

数列作为一个特殊的函数与极限相比有着自身的特点，并且函数的内容也相对较难，所谓教学的过程中要将极限置于“数列”部分，这样就可以使函数极限的内容更加具有逻辑性，也能够降低学生学习过程中的难度，使得学习具有简洁性。

3、将包含函数极限各种精确定义的、原本为一个整块的内容一分为三

国内的教材编排过程中极限的定义和性质都是集中进行编排，但是事情都是有两面性的，虽然从内容上显得紧凑，但是学习的过程中难点却相对集中，对于学生的学习是一个很大的挑战，所以我们可以将这部分内容进行分割：（1）解析极限的精确定义和验证；（2）单侧极限定义：（3）与无穷相关的极限定义。

（三）淡化形式，降低难点

数学的学习中是用符号来表述极限的内容，数学知识点作为高度符号化、形式化的集中，给学生的学习带来了很多的困难，但是我们在教学的过程中，作为教师就要在保证科学性的前提下，注重学习实质，这样的课堂学习内容就变得通俗易懂了。

1、注重学习的合理性

学习过程中教师作为教学的引导者必须要注重学生学习的合理性，知识的学习是一成不变的，但是学生的学习过程中是具有多变性的。学习过程中知识的安排要具有合理性。

2、不必刻意追求理论的完整性和系统性

高等数学课程学习的过程中，极限的编写中某些内容可以不给学生呈现，极限定义的28种形式可以不必让学生完全掌握，通过列举典型定义就可以，其余可以作为练习题来呈现。

（四）因材施教，控制难点

学生教学的过程中，作为教师要对学生的学习情况进行分析，并且要针对学生的学习水平与接收能力设定教学计划，并且要针对不同专业的学生注重教学的侧重，控制好难易度。对于理工科的学生我们必须要让他们全面掌握知识，能够理解证明学习中的定理与性质；对于数学专业的学生，我们必须让他们掌握极限验证中的主要内容，并能对教材中的定理性质以及运算法则进行良好的掌握；为此要依据专业来设定教学的内容与难易程度。