刘春发　刘秀明

【摘要】等腰三角形是平面几何学习的一个重点难点内容.平面几何中的很多问题同等腰三角形有关.本文主要讲述同等腰三角形有关问题的解决方法.

【关键词】等腰三角形;问题;解题方法

一、构造有公共顶点的两个等腰三角形

具体到解题的时候，可以先找好黄金点，然后以黄金点为顶点，另外再作出一个与原等腰三角形相似的三角形.

什么是黄金点呢？黄金点就是等腰三角形的顶点.什么叫与原等腰三角形相似的三角形呢？原等腰三角形相似的三角形就是另作一个等腰三角形，使这个等腰三角形同原等腰三角形的顶角相同.

因为平面图形是由点和线组成，我们在思考同等腰三角形相关问题时，抓住了黄金点，就找到了问题的切入点.

例1 已知：如图1所示，AB=AC，∠ABD=∠ACD，求证：AD平分∠CDE.

图1

图2

解 如图2所示，在CD上取点F，使得CF=BD，则可证△ABD≌△ACF，进而可以构造出△ABC和△ADF形成了有公共顶点的两个相似的等腰三角形.此题思考的切入点在以点A为顶点构造有公共顶点的两个相似的等腰三角形，点A为黄金点.

例2 已知：如图3所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥BD，求证：∠BDC=45°.

图3

图4

提示 此题的黄金点为点C.此题的解题方向是如图4所示的以点C为顶点构造有公共顶点的两个相似的等腰直角三角形.等腰直角三角形的题经常可以考虑构造有公共顶点的两个相似的等腰直角三角形.

例3 如图5所示，∠ABD=∠ADB=15°，∠CBD=45°，∠CDB=30°.求证：△ABC是等边三角形.

图5

图6

提示 此题的黄金点为点B.此题的解题方向是如图6所示的以点B为顶点构造有公共顶点的两个相似的等边三角形.等边三角形的题经常可以考虑构造有公共顶点的两个相似的等边三角形.

二、利用黄金点、黄金线、黄金垂的思路来解决同等腰直角三角形有关的问题

黄金点、黄金线、黄金垂是在解决等腰直角三角形问题中的一个通法.黄金点就是指等腰直角三角形的顶点，黄金线就是指过等腰直角三角形的顶点非直角边的任一直线，黄金垂是指过等腰直角三角形的顶点向黄金线所作的垂线.

例4 如图7所示，四边形ABCE中，AB=BC，AB⊥BC，CE⊥AE，BD⊥AE于D，求证：BD-CE=AD.

图7

图8

分析 此题的黄金点就是点B，黄金线就是BD，黄金垂就是AD，CF.此题如果将黄金垂作出来（如图8所示），就变得很容易了.

例5 如图9所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC上一点，过D作DE⊥AD，且DE=AD，连BE，求∠DBE的度数.

图9

分析 此题的黄金点就是点D，黄金线就是BC，黄金垂就是AG，EF.此题如果将黄金垂作出来（如图10所示），就找到解题的切入点了.

图10

图11

当然，此题还有其他解法，比如，图11以点D为顶点构造有公共顶点的两个相似的等腰直角三角形.

一般而言，等腰直角三角形问题有两种思考途径.途径一，构造有公共顶点的两个相似的等腰直角三角形.途径二，黄金点、黄金线、黄金垂的思路.

三、遇45°角构等腰直角三角形

出现一个45°角（图12），一般有4种构造等腰直角三角形的方法.如图13、图14、图15、图16所示.

图12

图13

图14

图15

图16

上面这4种构造等腰直角三角形的方法，有一个共同特点，那就是作垂线.这种作垂线的思考方法可以称为是45°角的黄金垂.不过在构等腰直角时，有时可以构造小的等腰直角三角形，有时需要构造大的等腰直角三角形.

例6 如图17所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E为△ABC外一点，且∠CEB=45°，求证：AE⊥BE.

图17

图18

分析 此题的解题突破口就是以45°角构造一个小的等腰直角三角形（如图18所示）.

例7 如图19所示，直线l交x轴、y轴分别于A，B两点，A（4，0），B（0，4），C是线段AB上一点，C点的横坐标为3，P是y轴正半轴上一点，且满足∠OCP=45°，求P点坐标.

图19

图20

分析 此题的解题关键点就是以45°角构造一个大的等腰直角三角形（如图20所示）.

四、遇60°角构等边三角形

出现一个60°角（图21），一般有2种构造等边三角形的方法.如图22、图23所示.

图21

图22

图23

上面2种构造等边三角形的方法，有一個共同特点，那就是作60°角.不过在构等边三角形时，有时可以构造小的等边三角形，有时需要构造大的边三角形.

例8 如图24所示，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°.E为AD延长线上的一点，且CE=CA，求证：AD+CD=DE.

图24

图25

分析 此题的解题关键点就是先求出∠EDC=60°，然后以60°角构造一个小的等边三角形（如图25所示）.

例9 如图26所示，D，E分别为等边△ABC的边AB，BC上的点，且AD=BE=13AC，AE与CD交于点P.求证：BP⊥CD.

图26

图27

分析 此题的解题关键点就是先求出∠APD=60°，然后以∠APD构造一个大的等边△APE，再由面积关系推出BE=2EP，还可以分析出∠PEB=60°，再以∠PEB构造一个大的等边△EFB（如图27所示）.