楼思远

【摘要】向量理论有着深刻的数学内涵，它是沟通代数与几何的桥梁，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础.本文通过“问题情境—引导与设问—解释与拓展—反思”这样的一种教学模式，对学生所学的向量基本内容进行拓展式教学，从而帮助学生发现问题的本质，提高他们的数学核心素养.

【关键词】拓展式教学;核心素养

向量理论有着深刻的数学内涵，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决很多问题时发挥着重要的作用.在课堂上，教师不应只满足于书本知识的传授，更应在学生已有的基础之上对所学的简单内容进行拓展，从而帮助学生发散思维，提高数学核心素养.以下为笔者的一节向量拓展课的过程：

师：今天，我们从向量的一个简单结论入手，推导出几个与立体几何与不等式相关的结论.如图所示，在△ABC中，根据加法法则有：

AB+BC+CA=0，

能否从这个恒等式入手得到一些有趣的结论呢？我们知道向量为既有大小又有方向的量，而向量的模则为数量，通过何种操作可以进行向量与它的模之间的转化？

生：可以通过平方将向量变为模的平方.

师：请动手试试，看能得到怎样的结果？（让学生自己琢磨3分钟）

学生甲：老師！我得到了一个向量的数量积与三角形边长之间的关系：

由AB+BC+CA=0得：

AB=-（BC+CA）AB2=（BC+CA）2，展开后得到：

CB·CA=CB2+CA2-AB22.（1）

师：很好，该式免去了向量夹角的判断，还有其他的方法吗？

学生乙：也可以由余弦定理得到：

CB·CA=|CB|·|CA|cosθ=|CB|·|CA|·|CB|2+|CA|2-|AB|22|CB|·|CA|=|CB|2+|CA|2-|AB|22.

学生丙：（不屑）这个结论很多人早就知道了，而且平时也经常用，没什么特别的地方啊？

师：是的，这是平面内的一个结论.我们知道空间向量是研究立体几何非常有效的一个工具，能否将我们刚得到的结论推广到空间呢？先看这么一个题目：

例1 空间四点A，B，C，D满足|AB|=3，|BC|=7，|CD|=11，|DA|=9，则AC·BD的取值（）.

A.只有一个

B.有两个

C.有四个

D.有无数个

分析 显然这四点构成了空间的封闭四边形，同学们可以类比刚才的思路进行推导，相互之间可以讨论一下.（等五分钟）

学生甲：我刚开始的思路是在等式两端各放两项再平方，根据对称的思想简化运算，但是计算太复杂，于是我转变思路，仍然只留一项在等式左端，得到：

AB+BC+CD+DA=0DA2=（AB+BC+CD）2

=AB2+BC2+CD2+2（AB·BC+BC·CD+CD·AB）

=AB2-BC2+CD2+2（BC2+AB·BC+BC·CD+CD·AB）

=AB2-BC2+CD2+2（AB+BC）·（BC+CD），

整理后得到：AC·BD=AD2+BC2-AB2-CD22，把数据代入得答案为A（教室响起了热烈的掌声）.

师：非常漂亮的推导过程，非常简洁的结论.我们也可直接利用结论（1）得到相同结果：

AC·BD=AC·（AD-AB）=AC·AD-AC·AB

=AC2+AD2-CD22-AC2+AB2-BC22

=AD2+BC2-AB2-CD22.

如果不考虑方向这一要素，根据异面直线所成角的定义与范围还可以得到如下结论：

空间中任意两条异面直线AC与BD所成的角θ满足

cosθ=AD2+BC2-AB2-CD22|AC|·|BD|.（2）

由结论（2）我们可以解决一类异面直线所成角的问题.

例2 三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成角的余弦值是.

生：（过一分钟）是78，哇，比平移添辅助线快多了！

师：我们把这个结论称为空间余弦定理，它其实是平面余弦定理的推广，有兴趣的同学课后可以对两个结论（1）和（2）进行对比记忆.留给大家两个课后习题：

练习1 四边形ABCD满足AB=BD=DA=2，BC=CD=2，现将△ABD沿BD折起，当二面角A-BD-C在π6，5π6变化时，直线AB和CD所成角的余弦值的范围是.

练习2 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知∠BAC=π2，AB=AC=AA1=2，点G，E分别为线段A1B1，C1C的中点，点D，F分别为AC，AB上的动点，且GD⊥EF，则线段DF的长度的最小值为.

师：恩格斯曾说过：数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，我们通过刚才的拓展研究，将数量关系与空间形式紧紧地联系在了一起，实现了二者之间的相互转化，真是收获满满啊.在平时的学习过程中，当遇到一些简单而直观的图形问题时，我们不仅要观其形，知其性，更要尽其理，终其道.

生：（会心的笑）老师，还能有其他“神奇”的发现吗？

师：（笑）“神奇”这个词用得不对，刚才的几个结论都是我们大家理性思考与推导的结果哦！要说到有趣的结论，让我们重新回到△ABC中：已知AB+BC+CA=0，若用e1表示AB方向上的单位向量，e2表示BC方向上的单位向量，e3表示CA方向上的单位向量，则有：

|AB|·e1+|BC|·e2+|CA|·e3=0.

这个恒等式看上去平淡无奇，如何寻找突破口呢？（停顿）注意到单位向量已经是最简单的概念，那么我们能否从三角形三条边这一个制约关系入手？

生：若是把三条边用任意三个正实数代替，那么只能得到一个不确定的新的向量，这个向量的方向与大小都不确定，似乎没有什么规律可言.

师：可否把向量的方向这一棘手的问题归避？从我们刚刚推导（1）的过程可以得到什么启发？

生：（恍然大悟）平方！

学生丁：把三角形三条边换为任意的实数x，y，z，再将等式两端平方可得：

x2+y2+z2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC.（3）

虽然向量没有了，可是又多了三个三角形的内角，式子好像变复杂了.

师：补充一点，等号在x∶y∶z=sinA∶sinB∶sinC時取到.注意到实数x，y，z为任意的，而三个角A，B，C为某个三角形的三内角即可.若对它们进行不同的赋值，则可以生成大量的新的不等式哦！比如，下面2个问题：

例3 在△ABC中，证明：cosA+cosB+cosC≤32.

例4 已知x，y，z为任意的实数，证明：x2+y2+z2≥2（xy+zx）.

学生丁：的确可以对（3）用赋值法来证明这两个题，可是从函数的凹凸性和基本不等式入手，似乎更简单也更自然，感觉这个不等式没啥优势啊.

师：知道难不住你们，我们再看一题：

例5 在△ABC中，求3cosA+4cosB+5cosC的最大值.

生：柯西不等式，均值不等式似乎都不行，此时根据（3）对该不等式赋值得到最大值为729120，当且仅当sinA∶sinB∶sinC=13∶14∶15时取到等号，原来这个不等式还是蛮有用的.

师：由于我们平时碰到的不等式大多都是限制在正实数范围内进行讨论，因此，对（3）用正实数nsm，smn，mns代替x，y，z得到：

mcosA+ncosB+scosC≤12nsm+smn+mns.（4）

这个式子比（3）结构简洁，同学们若能记住则大有裨益，我们再看一例：

例6 在△ABC中，证明：cosA+2cosB+3cosC≤11612.

生：与例5类似，轻松解决.

师：再次强调一定要注意验证取等条件哦！同样留给同学们两个课后练习题：

练习3 xy+xzx2+y2+z2+yz的最大值为.

练习4 已知正实数a，b，c满足：a+b+c=abc，证明：11+a2+11+b2+11+c2≤32.

（可以利用三角恒等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC换元）

师：（笑）同学们脸上似乎都有意犹未尽的感觉，在上这节课之前，有几位同学能够想到，就是这么简单的一个恒等式，可以拓展延伸出这么多深刻而优美的结论呢？这正是应了那首诗：“半亩方塘一鉴开，天光云影共徘徊，问渠哪得清如许，为有源头活水来”.同学们若能在平时的练习过程中细心一些，对一些基本的结论做一些拓展研究，一定会有意想不到的收获哦！我们下课.

课后小结

本文展示了如何围绕一个简单基本的知识点，启发和鼓励学生进行探索和发现新的结论的过程.在这个过程中，学生不仅对数量关系和空间形式的相互转化有了更深的理解，也对代数和几何之间的密切联系所深深着迷.在教师适当的引导和师生之间积极的交流与互动下，学生既锻炼了逻辑推理能力，也锻炼了数学抽象与直观想象之间相互转化的能力.

我们知道，新课程标准下的课堂教学，应当鼓励学生通过镌刻系统使他们自己的思维可视化，通过参与辩论活动说出他们自己的观点，用自己的语言去说出对抽象数学概念的理解与感悟，并通过师生之间的交流与反思不断对此进行改进.教师在课堂中应该依据特定的对象，环境和教学内容去创造性的进行教学，而不应机械地应用某种理论或教学模式，比如，过去的“导入—讲授—巩固—作业—小结”这种以教师为中心的环节教学法，就会把学生封闭在教师划定的圈子里.在课堂教学中，我们可以更开放一些，给学生更多主动思考的时间，与现行的教学模式中主要采取的“定义—定理，公式—例题—习题”的形式不同，本堂课以“问题情境—引导与设问—解释与拓展—反思”的模式展开教学，通过对一个基本问题的深入挖掘和拓展研究，让学生看透了问题的本质，并提高了他们的核心素养.

最后笔者想指出：不管哪一种教学方法都有它适用的范围和使用条件，同时又有各自的优缺点和局限性.在实际的教学过程中，应当遵循“教学有法，教无定法”的原则，根据实际灵活运用教学方法，方可收到良好的教学效果.