王勇 章定国 范纪华

摘要： 采用B样条插值方法研究柔性矩形薄板的动力学特性。考虑薄板的面外变形、面内变形以及面外变形引起的面内变形，利用B样条插值方法对柔性薄板的变形场进行离散，以拉格朗日方程为基础推导出作大范围运动柔性薄板的动力学方程，并运用MATLAB软件对薄板动力学仿真问题进行编程。通过动力学仿真，对比分析了B样条插值法、假设模态法以及有限元法的仿真结果，验证了B样条插值方法的正确性，并表明B样条插值法在处理柔性薄板的大变形问题的计算精度上具有优良性能和推广潜力。

关键词： 多体动力学; 柔性矩形薄板; B样条插值; 固有频率

中图分类号： O313.7  文献标志码： A  文章编号： 1004-4523（2019）05-0811-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.05.009

引 言

柔性体的变形场离散问题是柔性多体系统动力学中的基本问题[1]。目前假设模态法、有限段法和有限元法是三种使用较为广泛的变形场离散方法。假设模态法最大的优点是计算效率高[2]。但当工程结构为非规则的梁式或板式结构的时候，假设模态法便有了一定的局限性。一是对于复杂的柔性体结构很难求出振型函数，二是当工程模型发生改变的时候，为了满足精度要求需要叠加更多的模态，这样降低了计算效率。有限段法在梁式构件的离散上应用较广[1]。有限段法精度存在问题的原因在于弹簧的总刚度是由每一小段弹簧刚度向节点等效移植得到的，而且随着系统自由度数增大到一定程度，数值计算难度也会增大。有限元法的缺点是精度分析需要耗费大量计算资源。因此，对于多体系统动力学问题仍需要关注和探索新的变形场离散方法。

文献[3]采用样条有限点法研究了功能梯度压电梁板的静力问题，并与已有文献资料对比证明了该方法的合理性和有效性。文献[4]提出一个基于B样条函数、高阶剪切变形理论及变分原理分析复合材料板壳的样条有限点法，建立了区别于有限元法和有限段法的针对静力学、动力学、热效应等分析的新计算格式。文献[5]利用无网格配点法计算了复合材料层合板自由振动的固有频率和振型，文献还研究了薄板样条径向基函数中形状参数的选取对计算结果的收敛性。文献[6]将板的挠度和剪切应变作为场变量的基础，在此基础上考虑面内位移，采用样条无网格法建立了热环境下厚/薄压电功能梯度板动力分析新的计算格式。文献[7-8]给出了B 样条插值方法与绝对节点坐标有限元法之间的关系，从而达成了计算机辅助设计（Computer Aided Design， CAD）中的几何造型与计算机辅助分析（Computer Aided Analysis， CAA）中变形场描述的统一。在此基础上文献[9-10]进一步研究了B样条插值、Bezier曲线等计算几何方法和绝对节点坐标有限元法之间的转化，通过仿真实例研究表明，将CAD 中几何造型法和CAA中变形场描述相统一既可以达到CAD和CAA之间的等几何分析，又可以提高CAA 分析精度和效率。

本文以B样条插值法作为离散方法，有别于传统的假设模态、有限元等方法，研究其在柔性薄板动力学建模和分析上的性能，一定程度上拓展了柔性多体变形场离散方法。旋转结构为实际工程中重要的研究对象[11-12]，因此本文对做大范围旋转运动的柔性矩形薄板的动力学问题进行研究，在计及面外变形、面内变形以及面外变形引起的面内变形的情况下建立动力学模型，利用B样条插值方法对柔性薄板的变形位移场进行离散，以拉格朗日方程为基础推导出作大范围运动柔性矩形薄板的动力学方程，并运用MATLAB软件对薄板动力学仿真问题进行编程。进行动力学仿真，对比分析了B样条插值法、假设模态法以及有限元法的仿真結果，验证了B样条插值方法的正确性，并表明B样条插值法在处理柔性薄板的大变形问题的计算精度上具有优良性能和推广潜力。

图3-6中图（b）为图（a）的30-40 s的放大图，也即为恒定角速度下的响应图。从图中可以看出，B样条插值法的计算结果同假设模态法以及有限元法吻合度很高，这说明B样条插值法的确能够用于离散矩形薄板位移场。通过比较图3（a）与图4（a）、图5（a）可以看出，当Ω取0.2 Hz时，零次近似模型与一次近似模型的计算结果比较接近，而当Ω取0.4 Hz和0.6 Hz时，一次近似模型的计算结果明显小于零次近似模型，进一步当Ω取0.8 Hz时，零次近似模型的计算结果发散，与实际情况不符;而一次近似模型的计算结果收敛，与实际相符合。证明了附加刚度项在很大程度上影响了系统的动力学性态， 说明了薄板作高速大范围运动时，附加刚度项不容忽略[13]。图3（b）、图4（b）中零次近似模型振幅比一次近似模型要小，而在图5（b）中零次近似模型振幅要大于一次近似模型，这主要是两种模型在30 s时的状态量不同导致的。图3（b）、图4（b）中一次近似模型在30 s时变形量大于零次近似模型，导致在之后30-40 s内加速度不变的情况下变形量大于零次近似模型，图5（b）情况刚好相反。从振动频率角度分析，薄板作大范围旋转运动的角速度为定值时，f一次近似模型>f零次近似模型。且当角速度逐渐增大时，两者的差值也随之增大。

对以上仿真数据研究发现，薄板的面外变形量很小。接下来的仿真中取薄板的弹性模量分别为E=5×1010 N/m2，E=3×1010 N/m2和E=1010 N/m2，薄板其他参数保持不变。薄板仍绕y轴作定轴转动，旋转规律采用式（55）的形式，Ω=5 Hz，仿真中取T=30 s，总仿真时间t=40 s。图7，8和9表示薄板外侧角点z方向变形量（面外变形）在三种离散方法下的计算结果，仿真模型均为考虑耦合变形量的一次近似模型。

图7（b），8（b）和9（b）分别为图7（a），8（a）和9（a）中30-40 s内薄板外侧角点在z方向的变形放大图，也即为恒定角速度薄板振动变形图。从图7，8和9可以看出，薄板最大面外变形随薄板弹性模量的减小而增大，这是因为减小弹性模量导致薄板的柔性增大，在同样角速度条件下薄板的变形更大。三种不同弹性模量条件下B样条插值法与有限元法的仿真结果吻合度很高，而假设模态法同有限元法存在一定的误差，且误差主要体现在薄板面外变形量的衰减以及恒定角速度时的振动过程。由上可以说明，当薄板面外变形较大时，假设模态法的精度会降低，而B样条插值法的精度满足要求。

为了进一步说明大变形条件下假设模态法的局限性，将弹性模量减小为E=4×108 N/m2，仿真周期T=16 s，仿真总时间为20 s。图10表示Ω=0.8 Hz时薄板外侧角点z方向变形量。图中柔性薄板的最大面外变形超过了4 m，属于大变形，B样条插值法同有限元法的结果仍然基本一致，而假设模态法的仿真结果误差很大。说明源于结构力学中固有振型的假设模态法，仅适用于小变形情况，不能处理大变形问题，而B样条插值法和有限元法适用于大变形问题。

从表1可以看出薄板的固有频率随的增大而增大。图13为采用B样条插值离散得到的薄板横向振动前4阶固有频率随角速度的变化曲线。可以看出薄板的第1、第2阶固有频率随角速度增大而增大的速度较为缓慢;第3、第4阶固有频率随角速度增大的速度先快后慢。

从表5的数据可以看出，当角速度的范围在0-20 rad/s时，采用B样条插值方法计算得到的薄板的前3阶固有频率值相对有限元法的计算结果误差小于1%，而采用假设模态法计算得到的前3阶固有频率值相对有限元法的计算结果误差存在大于1%的情形。说明当角速度小于20 rad/s时，采用B样条插值方法计算柔性矩形薄板的低阶固有频率能够满足精度要求。

4 结 论

（1） 对于刚柔耦合旋转矩形薄板的动力学问题，B样条插值法能很好地离散薄板的变形场，且当转轴位于薄板平面内时，该方法同样适用。

（2） 当柔性薄板具有较大面外变形时，B样条插值法的计算精度比假设模态法要高，因此B样条插值法在柔性板大变形动力学响应问题上具有推广潜力。

（3）当转速较低时，运用B样条插值法计算得到的薄板的前3阶固有频率同有限元法的结果很相近，且误差小于假设模态法同有限元法的误差，能够满足精度要求。

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Abstract： The dynamic behavior of flexible rectangular thin plates is investigated by the B-spline interpolation method. The off-plane deformation， in-plane deformation and the in-plane shortening caused by the off-plane deformation of the thin plate are all considered. A dynamic model is established and the B-spline interpolation method is used to discretize the deformation field of the flexible thin plate. The rigid-flexible coupling dynamic equations of the flexible thin plate with large overall motion are established via employing the second kind of Lagrange′s equation， and the MATLAB software is used to program for the dynamic simulation problems of the flexible thin plate. To validate the method， dynamic simulations are carried out. The simulation results of the B-spline interpolation method are compared with the ones of the assumed mode method and the finite element method， which demonstrate that the B-spline interpolation method has the potential of popularization in the calculation accuracy to deal with the discretization of the deformation field of the flexible thin plate.

Key words： multibody dynamics; flexible rectangular thin plate; B-spline interpolation method; natural frequency

作者簡介： 王 勇（1992-），男，硕士研究生。电话：15195758184;E-mail：1342506994@qq.com

通讯作者： 章定国（1967-），男，博士，教授，博士生导师。E-mail：zhangdg419@mail.njust.edu.cn