■程建军

恒成立问题是数学高考题中的重要题型，通常要运用导数的知识，常常出现在压轴题的位置。这类试题处在中学数学和高等数学知识的交汇处，其知识点可以涵盖函数的单调性与极值问题、函数的零点问题、不等式的放缩、切线问题等多方面的内容，对同学们的思维能力要求比较高。因此，探索这类问题的解法有非常高的实用价值。

题目已知f(x)=[2xlnx+m(x2-1)](x-1)且f(x)≤0，(m∈R)，求m的取值范围。

分析：应注意到题中因式(x-1)是等价转化的调节器。令h(x)=2xlnx+m(x2-1)，易得，从而当0＜x≤1时，h(x)≥0⇔当x≥1时，h(x)≤0。于是本题等价于“当0＜x≤1时，h(x)≥0，求m的取值范围”。

解法一(分离变量法)：易知，当x=1时，h(1)=0，故只需考虑0＜x＜1的情形。分离变量得，求导得，令x2=t，则，求导得。

点评：此解法属于通法，需要二次求导和运用洛必达法则求极限，其中有一个代换简化计算的技巧，对同学们的知识面和计算能力要求较高。

解法二(含参讨论法)：当0＜x＜1时，，可知m＜0。对h(x)求导可得h'(x)=2lnx+2+2mx，h″(x)=，从而当-1＜m＜0时，h″(x)＞0，故h'(x)在(0，1]上单调递增。

故h(x)min=h(x0)=2x0lnx0+m-1)=-2x0(1+mx0)+=-2x0-，即，矛盾。

当m≤-1时，h'(x)=2lnx+2+2mx≤2(x-1)+2+2mx=2x(m+1)≤0，因此h(x)在(0，1]上单调递减，由于h(1)=0，故m≤-1即为所求。

点评：此解法也属于通法之一，需求二阶导数，涉及设而不求的思想及基本不等式的运用，对同学们的思维能力和计算能力要求较高。

解法三(数形结合法，巧用柯西中值定理)：当0＜x≤1时，h(x)=2xlnx+m(x2-1)≥0恒成立⇔当0＜x≤1时，2xlnx≥-m(x2-1)恒成立(由于y=2xlnx在区间(0，1]上不单调，处理起来有些不方便，故继续进行下面的转化)。

当0＜x≤1时，恒成立

⇔当0＜x≤1时，s(x)=2lnx的图像恒在上方

⇔∀x0∈(0，1)，t(x0)＜s(x0)＜0恒成立

⇔∀x0∈ (0，1)，∃ξ∈(x0，1)，使得恒成立(柯西中值定理)

⇔m＜恒成立。

易得m≤-1。

点评：此解法将原问题转化为两个函数图像的位置关系，其中用柯西中值定理进行转化的部分完全是高等数学的范畴，当属高观点下的高中数学题，自然不宜介绍给同学们。不过，这个方向的探索启发了我们去寻找更加“显而易见”的数形结合的解法。

解法四(数形结合法)：当0＜x≤1时，h(x)=2xlnx+m(x2-1)≥0恒成立

⇔当0＜x≤1时，2xlnx≥-m(x2-1)恒成立

⇔当0＜x≤1时，2lnx≥-m恒成立当t∈(-∞，0)时，t≥恒成立

⇔当t∈(-∞，0)时，y=t的图像恒在的图像上方(图略)。

点评：本解法中的代换化曲为直是解题的要点，避免了上一解法中用柯西中值定理去转化的“麻烦”，可以结合图像直观地“看”出结论。当然的图像实际上需要用二阶导数来判断函数的凹凸性才可以得到，所以这种解法是否可以推荐给同学们需要大家一同探讨。