袁田　王琴　李本雄

摘 要 18世纪，英国贝克莱大主教抓住了当时微积分中一些不合逻辑的问题，由此引起了数学界长达一个半世纪的争论，造成第二次数学危机。第二次数学危机是围绕微积分诞生初期的基础定义展开的一场旷日持久的争论。

关键词 第二次数学危机 牛顿 贝克莱悖论 极限理论

中图分类号：O172.1文献标识码：A

1第二次数学危机及其产生背景

第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的17世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学派的外部，甚至是数学家群体的外部提出的，是对牛顿“无穷小量”说法的质疑引起的。

牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，但也有逻辑上的问题。我们先从一个例子看看，第二次数学危机是如何引发的。在牛顿之前，人们只能求物体在一段时间内的平均速度，无法求物体的某一时刻的瞬时速度。

我们以自由落体运动为例，来看看牛顿的思考。

设自由落体在时间t下落的距离为S（t），则有S（t） = gt2其中g为重力加速度，求物体在t0时刻的速度。

分析：先求在[t0，t1]这段时间内速度的平均值，用下落距离的改变量除以时间的改变量。

推导如下，取一段时间[t0，t1]，

S= S（t1）  S（t0） = gt12  gt02

= g[（t0 +t）2  t02] = g[2t0 t+（ t）2]

∴ =  gt0 + g（ t）

将上式记为（*）式。

这个（*）式右边有两项，一项是gt0，它是不依赖于时间的改变量，另一项是g（ t），它是依赖于时间的改变量。

牛顿考虑：当 t越小的时候，这个平均速度就越接近物体在时间t0这个时刻的瞬时速度;如果让 t变成无穷小量，那么这个平均速度就成为物体在t0时刻的瞬时速度了呢？而当 t变成无穷小量的时候，右端的g（ t） 也变成无穷小量。因而，（*）式右端可以认为就是gt0。gt0就是物体在t0时刻的瞬时速度。

由于时间的改变 t为无穷小量时，距离的改变 S也是无穷小量，因此牛顿认为瞬时速度是两个无穷小量（）的比。牛顿的这个方法很好用，解决了大量过去无法解决的问题，因此微积分的方法被广泛接受，并得以迅速推广。

但是牛顿的理论在逻辑上不严格，遭到了责难。英国大主教贝克莱发表文章，对牛顿的理论进行猛烈攻击。贝克莱质问，这个无穷小量 t作为一个量，究竟是不是零？在牛顿的推导中，有逻辑上的问题。在（*）式 = gt0 + g（ t）中，如果无穷小量是零，那么（*）式的左端中分母就没有意义;如果无穷小量 t不是零，那么右端就不能把g（ t）任意去掉，变成gt0。

贝克莱还质疑，在推出（*）式，假设的前提是 t不等于零，才能作除法。他指出这种方法很荒谬，还反唇相讥，既然 t和 S都变成无穷小量，而无穷小量作为一个量，既不是零又不是非零，那它就是量的鬼魂。这就是著名的“贝克莱悖论”。这一悖论的发现，在当时引起了一定的思想混乱，导致了数学史上的第二次危机，引起了持续200多年的微积分基础理论的争论。

2第二次数学危机的实质及解决

第二次数学危机的实质，是“极限”的概念不清楚，极限的理论基础不牢固。也就是说微积分理论缺乏逻辑基础。牛顿曾说明“最终的比”，分母、分子要成为零还不是零时的比，比如 = gt0 ，不是最终量的比，而是比最终趋于的极限。牛顿虽然提出和使用了极限这个词，但是并没有在严格意义下，说清楚这个词的意思。德国数学家莱布尼茨虽然也同时发明微积分，但是也没有明确给出极限的定义。正因为如此，此后一百多年间的数学家都无法满意解释贝克莱提出的悖论。由无穷小量引发的第二次数学危机，实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分学的逻辑基础。

随着时间的推移、微积分研究范围的扩大，微积分中类似的悖论日益增多。数学家在研究无穷级数的时候做出了很多错误的证明，从而得到了很多错误的结论。比如对于1+（-1）+1+（-1）…的和，数学家也争论不休。

进入19世纪时，为微积分奠定一个严格的理论基础已成为亟待解决的问题。这需要建立严格的极限理论和实数理论。严格的极限理论的建立经历了一个逐步的、漫长的过程。在18世纪，人们建立了极限理论，但那只是一个粗糙的理论。达朗贝尔在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人没能提供这样的理论。19世纪初，捷克数学家波尔查诺开设将严格的论证引入数学分析。他写的《无穷的悖论》一书中，包括很多真知灼见。法国数学家柯西在1821年-1826年间出版的《分析教程》、《无穷小计算讲义》，是数学史上划时代的著作。他对极限给出比较精确的定义，然后用它定义连续、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，建立起以极限为基础的现代微积分体系。

现在再回到（*）式 = gt0 + g（ t） （ t≠0）。

瞬時速度定义为上述平均速度当 t趋于0时的极限。

物体在t0 时刻的瞬时速度 =  。

对（*）式两端同时取极限：

=   gt0 + g（ t）

=  gt0 + g（ t）

第一个极限不依赖于 t，就是gt0，第二个极限当 t趋于0时，极限就是0，得到：

= gt0 + 0

= gt0

上述所得的结论与牛顿原先的结论是一致的，在时刻t0的瞬时速度都是gt0，但现在的每一步都有了严格的逻辑基础。“贝克莱悖论”的焦点“无穷小量 t是不是0”，在这里给出了明确的回答： t≠0。确切的说，无穷小量是极限为0的变量。贝克莱悖论中的无穷小量 t极限为0，但是 t自己可以不等于0。这样，通过建立起严格的极限理论，贝克莱悖论在经历了200年后终于被消除了。

参考文献

[1] 欧阳耿.重新认识第二次数学危机[J].喀什师范学院学报，2002（05）.