周林雪

[摘   要]首先阐述化归思想的内涵和基本功能;其次说明化归思想在初中数学解题中的应用原则;最后结合具体的例题分析化归思想在初中数学解题中的应用方法.

[关键词]化归思想;解题;初中数学

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）26-0019-02

化归思想作为一种重要的数学思想，始终贯穿于初中数学解题中，它能使抽象的数学问题具体化，把复杂的数学问题简单化，从而实现初中数学解题的高效化.本文首先阐述了化归思想的内涵和基本功能，并结合具体的例题对化归思想在初中数学解题中的应用进行了分析，希望对师生利用化归思想来解决初中数学问题能有所帮助.

一、化归思想的内涵

化归其实是转化和归纳的简称，而化归思想的核心是把难解转化为易解、把复杂转化为简单、把未知转化为已知，如把四边形问题转化为三角形问题、把代数问题转化为几何问题、把分式方程转化为整式方程等.实现这种转化的方法主要有整体代入法、配方法和待定系数法等.

二、化归思想的基本功能

作为初中数学解题中的一种重要思想，化归思想同时也是一种有效的数学思维方式和最基本的思维策略.化归思想的实质是采用变化手段来研究和解决有关数学问题使其转化，进而达到解决问题目的的一种方法.在初中数学解题中，化归思想无处不在，其基本功能为把含糊转化成明朗、把抽象转化成直观、把复杂转化成简单、把生疏转化成熟悉.在解答初中数学题的过程中，要善于对所要解决的问题进行变换转化，从而使问题变得简单易解.

三、化归思想在初中数学解题中的具体应用

1.特殊化方法

化归思想的特殊化方法就是将已知的问题转化为特殊情况或形式，然后寻求问题的解决方法和结论时通过对特殊情况进行研究的一种数学方法.现以例1为例来对特殊化方法进行具体的说明.

[例1]如图1-1所示，假设∠AOB为一定角，P点为一定点，且位于∠AOB 的平分线上，连接OP，以OP为弦作圆交OA于C、交OB于D，求证：OD与OC之和为一定值.

首先将此题中的情况特殊化，如图1-2所示，假设OP为特殊位置的弦（OP为直径），且OP = L，∠AOB =2α，因为OP经过圆心，可以得出∠ODP=∠OCP=90°，OD+OC=2OD=2Lcosα，因此OD与OC之和为一定值.而OP不经过圆心的证明过程如下：如图1-1所示，作PF⊥OB于F，作PE⊥OA于E，又因为∠AOB的平分线为OP，因此可以得出PF=PE，OF=OE=Lcosα，可知∠PDF=∠PCE，因此Rt△PDF ≌ Rt△PCE，所以DF=CE，OD+OC =（OF + FD）+（OE - CE）= OF+OE= 2Lcosα，因此OD与OC之和为一定值.

2.熟悉化方法

化归思想的熟悉化方法就是把陌生的问题化归为熟悉的问题，然后利用已掌握的知识和经验来解答题目.现以例2为例来对熟悉化方法进行具体的说明.

[例2]如图2所示，假设BD、AC分别为圆内接凸四边形 ABCD 的两条对角线，求 AD·BC+AB·CD= AC·BD.

这个等式的证明比较复杂，我们都不易着手，比较生疏，但是对于AB=CD这一类线段关系式的证法我们就比较熟悉，所以可先按照AB=CD這类型的等式来进行处理.经过仔细观察可以发现，要想证明AD·BC+AB·CD= AC·BD，可假设在线段 AC或者 BD上存在一点 P，使得 AC·BP=AB·CD ① 和 AC·PD= AD·BC ②能够同时成立，这样的话只要等式①+②就可以证明AD·BC+AB·CD= AC·BD，所以我们成功地把问题转化成了两个比较熟悉的问题，要让等式①和等式②同时成立，只需证明△ADP ∽ △ACB和△ABP ∽ △ACD，这对我们来说就容易多了.

3.简单化方法

化归思想的简单化方法就是把比较复杂的图形和问题转化为若干个具有某种特殊关系的图形和简单的问题，然后逐一进行解决，各个击破，最后再加以综合得出答案.现以例3为例来对简单化方法进行具体的说明.

[例3]解方程 [x+5]+2[x2+5x]+[x]=25-2x .

解无理方程的一般方法是尽量去掉根式转化为有理方程来解答，同时考虑到整体与部分的关系以及有关的特征，因此此题可选择釆用换元法来解答.首先令y=[x]+[x+5]，则[y2]=2x+5+2[x2+5x]，然后可把原方程转化为：[y2]+ y-30=0，对此方程求解可得：y1=5，y2=-6（舍去）.把 y = 5代入y=[x]+[x+5]，方程两边同时进行平方，经过整理后可得：[x2+5x]=10-x，再次对方程两边进行平方，经过整理后可得：x=4，经检验，方程的根为x=4.

4.直观化方法

化归思想的直观化方法就是把抽象的问题转化为直观的问题.现以例4为例来对直观化方法进行具体的说明.

[例4]m、n均为正数，且满足条件 m + n = 3，且 S =[m2+4]+[n2+4] ，求 S 的最小值.

刚接触到这道题时难免会觉得题目比较抽象而无从下手.但是假如我们用数形结合思想来进行解题的话，题目就会变得比较直观，如图3所示，线段AB与DE交于点C，连接AD、BE，代入题目中的已知条件可知， BE =AD =2，m + n =AB=3，且∠CBE =∠CAD = 90°。求 CE+CD的最小值就是求S的最小值.从题目中可以看出，CE+CD的最小值就是当E、C、D成一条直线时，此时的C 点为线段AB 的中点，S 的值为最小.

具体的解题过程如下：如图3所示，设CB = n， AC = m，由m + n =AB = 3可得AC=BC=[12] AB=[32]，即n=m=[32]，在Rt△BEC与Rt△ADC中，CD = [AD2+AC2]=[4+94]=[52]，而CE=[BC2+BE2]=[52]，则 DE =S = CE+ CD = 5.因此可以得出 S的最小值为5.

解答本题的关键是通过观察题目所给的已知条件，进而想到用图形构造把抽象的问题转化为直观的问题，然后通过所构造图形的实际意义求出相应的答案.

综上所述，化归思想是初中数学解题中最重要的思想之一，把复杂的问题转化为简单的问题是化归思想的实质.利用化归思想来解答初中数学题的方法有很多，包括数形结合法、构造法和换元法等，解答题目时，釆用其中一种或多种，可实现解正确题率的最大化.

（责任编辑 黄春香）