处理函数最值问题的几个基本视角
2019-11-12肖海
肖海
[摘 要]函数最值问题历来是中学数学的重点和难点，也是热点问题.在中学数学函数以及函数的应用中，出现频率高，而且此类问题的处理过程涉及函数的大部分性质的运用方法，具有较强的综合性.教师可基于函数、不等式、数形结合、向量等视角处理函数最大值问题.
[关键词]函数;最值问题;视角
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2019）26-0018-02
中学数学中一般把涉及函数最大值和最小值的问题称为最值问题.函数的最值问题是中学数学的重要内容，它广泛地应用于中学数学函数和函数应用问题的处理过程中.最值问题的处理过程几乎涉及了函数的所有基本性质，综合性强，难度大，是中学生学习数学的一个难点，同时也是学生能力的生长点，因此受到师生的高度关注.下面笔者以一道函数题为例谈谈处理函数最值问题的几个基本视角.
【题目】求函数[f（x）=12-3x+x]的最大值.
一、函数视角
【方法1】导数法：函数[f（x）=12-3x+x]中只含有一个变量[x]，是关于[x]的函数，最常用的方法是导数法.
解：[fx=12-3x+x]的定义域是[0，4]，
当[x∈0 ，4]时， [f ′x=-324-x+12x=4-x-3x24x-x2]，由[f ′x=0]，得[x=1]，当[x∈0，1]时，[f ′x>0]，函数[fx]单调递增;当[x∈1，4]时，[f ′x<0]，函数[fx]单调递减，所以[fx]在区间[0，4]上有极大值[f1=4]，又因为[f0=23]，[f4=2]，故函数[f（x）=12-3x+x]的最大值为4.
点评：通过求函数的导数，借助函数的单调性来求函数的最值，是处理函数最值的通用方法.
【方法2】函数[f（x）=12-3x+x]关系式中含有根式，进行有理化是很自然的思路.
解：令[u=x]，则[fx=12-3x+x]=[12-3u2+u0≤u≤2]，令[gu=12-3u2+u0≤u≤2]，当[0≤u≤2]时， [g′u=-23u24-u2+1=4-u2-3u4-u2]，
若[g′u=0]，则[u=1]，当[u∈0，1]时，[g′u>0]，函数[gu]单调递增;当[u∈1，2]时，[g′u<0]，函数[gu]单调递减，所以[gu]在区间[0，2]上有极大值[g1=4]，又因为[g0=23]，[g4=2]，故函数[f（x）=12-3x+x]的最大值为4.
点评：这两个方法没有本质的区别，但是两种不同的思路.也可以令[v=4-t∈0，2]进行代数换元求解，但其求解过程与此法相比，不够简洁.
【方法3】三角换元法.
解：令[x=4sin2θ]，则[f（x）=12-3x+x][=]
[23] [cosθ+2sinθ]，[θ∈0，π2]，
记[M=23cosθ+2sinθ=4sinθ+π3]，[θ∈0，π2]，[π3≤θ+π3≤5π6]，[12≤sinθ+π3≤1]，
所以[M=4sinθ+π3∈2，4]，当且仅当[θ=π6]，即[x=1]时，[M=4].故函数[f（x）=12-3x+x]的最大值为4.
点评：通过三角换元把问题转化为三角函数在给定区间的最值问题来处理.
二、不等式视角
【方法4】函数[f（x）=12-3x+x=3·4-x+1?x]中每一部分都是乘积结构，应用基本不等式.
解：因为[3·4-x≤3+4-x2=7-x2]，[x≤1+x2]，
所以[f（x）=3·4-x+x≤7-x2+x2=4]，当且仅当[x=1]时，等号成立.故函数[f（x）=12-3x+x]的最大值为4.
点评：这种方法两次应用基本不等式时，等号成立的条件恰好相同，是巧合，是不等式等号成立的条件.
【方法5】用柯西不等式.
解：[f（x）=12-3x+x=3·4-x+1?x]，[x∈0，4 ， ][f2（x）=3·4-x+1?x2≤][32+12]·
[4-x2+x2=16]，当且仅当[4-x3=x]，即[x=1]时等号成立，所以[f（x）≤4]，当且仅当[x=1]时，等号成立.故函数[f（x）=12-3x+x]的最大值为4.
点评：柯西不等式是不等式中十分重要的工具，通过对关系式的合理变形，构造出柯西不等式的形式，注意等号成立的条件.
三、数形结合视角
【方法6】注意到函数[f（x）=12-3x+x]中[4-x2+x2=4]是一个定值，可借助于换元把函数最值问题转化为与圆（或圆弧）有关的问题，再运用数形结合的方法来处理.
解：令[u=4-x∈0，2 ，v=x∈0， 2]，则[u2+v2=4u≥0，v≥0 ，M=3u+v ，]在直角坐标系[uOv]中，点[Pu，v]既在圆弧上又在直线[v=-3u+M]上，如图1所示，在圆弧与直线有交点的所有情形中，由[u2+v2=4u≥0，v≥0 ，M=3u+v ，]得：[（M-3u）2+u2=4]，化成[4u2-23u+M2-4=0]的判别式啄驻[Δ=12M2-16（4M2-4）≥0]，解得[M≤4]，所以只有直线与圆弧相切时直线在纵轴上的截距最大值为4.即[M=12-3t+t]的最大值为4.故函数[f（x）=12-3x+x]的最大值为4.
点评：这种方法通过观察函数式的特征，把代数问题转化为几何问题，借助几何直观中直线在纵轴上的截距的最大值，找到函数的最大值.也是分析函数问题的常规思路.也可以利用椭圆弧[u2+3v2=12u≥0，v≥0]与直线[v=-3u+M]的位置关系来处理.两种方法没有本质区别.
四、向量视角
【方法7】向量中的不等关系[a?b≤ab]是建立和与积之间不等关系的基本工具.
解：令[a=3 ， 1 ， b=4-x，x]，则[a=2 ， b=2]，
所以[f（x）=12-3x+x=a?b=abcos=4cos≤4]，当且仅当[
点评：这种解法应用向量数量积构造了与函数一致的向量关系式，应用向量数量积中固定的不等关系直接得到函数最值，是所有解法中最简单的方法.
普遍联系是事物之间存在的根本规律.上面一个问题的处理过程从函数视角到不等式视角、数形结合视角、向量视角，实现了数学知识与方法之间的合理迁移和融汇.根据问题已知条件和结论中提供的信息，透过问题的表象挖掘出它隐含的本质和联系，找到知识与方法在各自发展过程中的纵向联系和横向联系，是分析问题和解决问题的根本方法，也是处理问题的核心要点.多种方法来自已有的知识与方法储备，来自对问题已知条件和结论中信息的理解与认识，也取决于知识与经验的积累.变式训练是数学教学的经典方法，在日常教学中也经常使用这种方法，可有效提高学生分析问题和解决问题的能力.
（责任编辑 黄春香）
