冯霞

[摘   要]圆锥曲线是高中数学的主干知识，是考查学生分析问题、解决问题能力的有效载体.问题求解的核心思想是几何问题代数化.核心方法是坐标法、消元法、判别式法等.除此以外，还要注意结合平面几何的性质.

[关键词]圆锥曲线;核心思想;核心方法;几何性质

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）26-0016-02

圆锥曲线是高中数学的重难点内容，对考生的思维能力、解题能力、计算能力要求较高，在高考中常以把关题或压轴题的形式出现，问题求解中学生往往不知从何入手.基于此，笔者给出如下几点建议.

一、明确核心思想

圆锥曲线属于解析几何的范畴，所谓解析几何，简言之就是用代数的方法解答几何问题，因此解答圆锥曲线问题的核心思想，就是将几何问题代数化.代数化的途径就是坐标法，即利用点的坐标、向量的坐标等.

二、掌握核心方法

1.设点法.该方法是处理坐标条件的重要方法.具体步骤为：设点→将曲线上的点用其他点表示出来→将被表示的点代入方程，利用方程代换求解.

2.设直线方程法.即引入直线的斜率k，设出直线方程，将其与椭圆方程联立，利用判别式法、根与系数的关系等求解.

[例1]过椭圆[x24+y23=1]的左焦点[F]的直线交椭圆于[A]、[B]两点，若[AF=2BF]，求直线的斜率.

方法1（设点法）：设[A（x1，y1） ，B（x2，y2）]，由已知得[AF=2FB]，[F（-1，0）]，所以[（-1-x1，-y1）=2（x2+1，y2）]，[-1-x1=2x2+2，-y1=2y2]，即[x1=-2x2-3，y1=-2y2].代入椭圆方程得[（-2x2-3）24+（-2y2）23=1]，[4x224+4y223+12x2+94=1].将[4x224+4y223=4]代入上式得[12x2+94=-3]，得[x2=-74]，代入椭圆方程得[y2=±358]，故直线的斜率[k=][±52].

方法2（设直线方程法）：易知直线AB的斜率存在，设其方程为[x=my-1]，与椭圆方程联立得[3（m2y2-2my+1）+4y2-12=0]，即[（3m2+4）y2-6my-][9=0]，

设[A（x1，y1） ，B（x2，y2）]，由根与系数的关系得[y1+y2=6m3m2+4 ，y1y2=-93m2+4 ].由已知得[AF=2FB]，[F（-1，0）]，所以[（-1-x1，-y1）=2（x2+1，y2）]，[-y1=2y2]，即[y1=-2y2]，所以[-y2=6m3m2+4，-2y22=-93m2+4]，联立得[-2×36m2（3m2+4）2=-93m2+4]，解得[m=±25]，故直线的斜率为[±52].

三、充分利用平面几何性质

处理解析几何问题的核心思想及方法虽然均与代数有关，但并不能完全脱离平面几何的性质.在解析几何命题中涉及的平面图形主要有等腰三角形、等边三角形、圆、平行四边形、菱形等.等腰三角形常利用“三线合一”的性质寻找思路，若等腰三角形的底与坐标轴平行或重合，则利用两腰所在直线的斜率关系（互为相反数）进行求解.等边三角形，除了可利用等腰三角形的性质求解外，还可利用高与边长的关系求解.圆，可利用直径所对的圆周角为直角，垂径定理、切线性质等.平行四边形，则常利用对边平行、对角线互相平分.菱形则是四边相等，对角线垂直平分.

[例2]已知椭圆[x2a2+y2b2=1]的一个焦点为[F（2，0）]，且离心率为[63].

（1）求椭圆方程;

（2）如图1，斜率为[k]的直线[l]过点[F]，且与椭圆交于A，B两点，[P]为直线[x=3]上的一点，若△[ABP]为等边三角形，求直线[l]的方程.

解析：（1）[x26+y22=1].

（2）设直线[l]的方程为[y=k（x-2）].

联立方程组[y=k（x-2）        ，x26+y22=1.]消去[y]并整理得[（3k2+1）x2-12k2x+12k2-6=0].易知判别式大于0.

设[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，故[x1+x2=12k23k2+1]，[x1x2=12k2-63k2+1]，则[AB=1+k2x1-x2=]

[（1+k2）（x1+x2）2-4x1x2][=26（k2+1）3k2+1]，

[MP=1+1k2?x0-xP=k2+1k2?3（k2+1）（3k2+1）].

当△[ABP]为正三角形时，[MP=32AB]，可得[k2+1k2?3（k2+1）（3k2+1）=32×26（k2+1）3k2+1]， 解得[k=±1]，即直线[l]的方程为[x-y-2=0]或[x+y-2=0].

本题文字表述简洁、清晰，考查了直线与椭圆的位置关系和学生的数据处理能力，深刻反映了解析几何的数学本质，即将几何问题转化为代数问题，依据等边三角形的性质，进行代数运算.

四、善于将问题进行等价转化

数学问题虽然类型繁多，但有些问题的不同之处，往往只是形式上的不同，抛开形式外衣，问题的本质往往是相同的.因此，解题中，我们要善于将问题进行等价转化求解.

[例3]已知椭圆[C]：[x2+2y2=9]，点[P（2，0）].过（1，0）的直线[l]与椭圆[C]相交于[M]、[N]两点.

问题1：判断[∠MPN]是钝角、锐角还是直角.

问题2：判断点P与以MN为直径的圆的位置关系.

问题3：设[MN]的中点为[T]，判断[TP]与[TM]的大小.

上述三个问题，从形式上看属于不同的类型，但深究问题的本质不难发现，问题2、3与问题1是同一个本质，因此均可转化为判断[∠MPN]是钝角、锐角还是直角，进而借助向量数量积公式进行判断.下面以问题3为例进行解答.

解析：当直线[l]斜率不存在时，[l：x=1]，[TP=0

联立 [x2+2y2=9 ，y=k（x-1） ，]整理得[（2k2+1）x2-4k2x+2k2-9=0]，

[Δ=（4k2）2-4（2k2+1）（2k2-9）=64k2+36>0]，

故[x1+x2=4k22k2+1]，[x1x2=2k2-92k2+1]，

[PM?PN=（x1-2）（x2-2）+y1y2][=（x1-2）（x2-2）+k2（x1-1）（x2-1）]

[=（k2+1）x1x2-（k2+2）（x1+x2）+k2+4]

[=（k2+1）?2k2-92k2+1-（k2+2）?4k22k2+1+k2+4][=-6k2+52k2+1] [<0].

故[∠MPN>90°]，即点[P]在以[MN]为直径的圆内，故[TP

总之，在圆锥曲线的高考复习中，只要我们明确高考考什么，以什么形式出现，针对某一题型用什么方法求解，即可以不变应万变.

（责任编辑 黄春香）