刘 峰，郑思行

（中国运载火箭技术研究院研究发展中心，北京，100076）

0 引 言

固体火箭发动机相对于液体火箭发动机而言，不需要燃料的加注过程，操控灵活[1,2]，具备快速响应能力，受到各国的高度重视。

相对于液体火箭发动机的性能，固体火箭发动机的推力和流量随时间和温度等偏差因素而变化，地面试车也只能开展有限偏差因素的试验。

固体火箭发动机推力等性能参数受到多种偏差因素影响，固体发动机性能参数形成的内弹道曲线一般以给定偏差下随时间变化的推力等参数表示，不同的偏差因素不但影响推力大小，而且影响工作时间的长短，因而难以只通过时间对其对固体发动机内弹道曲线进行插值。固体火箭发动机效果示意如图1所示。

本文给出一种基于自变量与因变量同时变化的性能参数双线性插值方法，双线性插值方法常用于图像处理、导航计算等方面[3~8]，一般用于处理相互正交的输入量。本文提出的方法针对自变量（时间和偏差因素）相关的情况，基于其中性能参数（燃料质量）的不变性，确定自变量之间同步变化的比例关系，形成改进的双线性插值方法，拓展了该方法的应用范围。

1 双线性插值方法研究

1.1 数据预处理

基于固体助推性能参数的插值方法中，偏差因素包括温度、装药量、烧蚀率等，以不同温度下的随时间变化的推力曲线为例，首先通过数据预处理，确定插值原始数据的选取和双线性插值中的比例系数。

一般而言，不管固体发动机的推力、流量、比冲等性能参数随时间和偏差因素等如何变化，其总燃料消耗总是一定的，故其总冲是一定的。因此，通过流量积分得到燃料消耗量变化曲线，以终端燃料消耗量相等为条件，获得不同偏差因素下的不同时间长度的固体助推性能参数内弹道曲线，作为开展插值算法研究的基础。

在本文中，自变量设定为时间和温度，因变量为发动机的推力曲线。以给定的性能参数表的对应温度称为节点温度，设固体助推的性能参数如下：

基于不同温度的性能参数，时间尺度为不同温度数据的最大时间；推力尺度为不同温度数据的推力对时间的积分，有：

1.2 对输入输出的尺度变换

计算时间尺度和推力尺度如下：

根据性能参数的特点，在查表前对自变量时间进行线性插值缩放，以采用温度对应的固体助推性能参数表进行插值为例，其线性缩放关系如下：

1.3 基于不同数据的加权

相对于线性加权，该种加权方式对应温度在节点温度附近时，与节点温度高度近似，在远离节点温度时，按照线性关系过渡。

在基于固体助推性能参数的插值方法中，首先对自变量时间进行线性插值以便缩放到节点温度上计算性能参数，然后对因变量推力进行线性插值将其缩放到当前温度下，方法涉及两次插值，故将该方法称为双线性插值方法。

2 双线性插值仿真分析

固体助推性能参数插值方法对固体发动机性能参数的插值计算，主要用于支持包含固体发动机开展六自由度打靶仿真试验中及固体发动机偏差因素下性能参数的计算，其设备示意如图2所示。

图2 六自由度打靶仿真试验设备示意Fig.2 Schematic Diagram of 6DOF Target Simulation Test Equipment

双线性插值算法仿真流程如图3所示。

图3 双线性插值算法仿真流程示意Fig.3 Simulation Flow Chart of Bilinear Interpolation Algorithm

以某运载火箭固体发动机的推力曲线为例，已知10 ℃、20 ℃和30 ℃的时间推力曲线如图4所示，基于10 ℃和30 ℃插值得到20 ℃的时间推力曲线如图4所示。

图4 某固体发动机20℃温度下的推力曲线Fig.4 Thrust Curve Comparison of a Solid Rocket Engine at 20℃ Temperatures

由图4可知，中间20 ℃的粗线与细线几乎重叠，相对偏差小于0.6%，在此用试验数据验证了双线性插值方法的合理性和有效性。

为了提高插值方法的展示度，在下方10 ℃和上方30 ℃的原始时间推力曲线上叠加不同幅度和频率的波动如图5所示。

图5 某固体发动机3种温度下的时间推力曲线Fig.5 Time Thrust Curve of a Solid Rocket Engine at Three Temperatures

通过双线性插值可以得到任意温度间隔的推力曲线，以间隔插值1 ℃为例得到的时间推力曲线如图6所示。

图6 某固体发动机双线性插值的时间推力曲线Fig.6 Time Thrust Curve of Bilinear Interpolation for a Solid Rocket Engine

由图6可知，任意温度下的时间推力曲线完全适应插值节点温度下时间推力曲线的任意变化，插值得到的时间推力曲线实现了从一个温度到另一个温度的连续渐变，变化结果符合预期。该方法一般用于内插，在试验数据的线性规律较强时可以适度进行外插。

3 结 论

本文提出的双线性插值方法，对给定的少数几组偏差下的性能参数，能够插值得到任意偏差下的随时间变化的固体发动机推力、比冲、流量等性能参数，该方法得到了试验数据的验证，为采用固体发动机的飞行器的控制系统六自由度仿真试验的偏差模型建模提供了重要的数据处理方法。