摘 要：本文对2019年全国I卷理科第7题作出分析，探析试题背后隐含的几何本质，并提出向量教学建议，最后给出变式，旨在更好地指导高三数学复习教学.

关键词：几何本质;向量教学;变式

1 试题呈现

题目 （2019年全国Ⅰ卷理科第7题）已知非零向量a→，b→满足a→=2b→，且a→-b→⊥b→，则a→与b→的夹角为（  ）.

A.π6   B.π3   C.2π3   D.5π6

2 试题解析

本题以向量为载体，考查向量的基本运算，属于容易题.

解 由a→-b→⊥b→得a→-b→·b→=0，即a→·b→-b→2=0.

设a→与b→的夹角为θ，则a→·b→·cosθ-b→2=0.

又a→=2b→，所以2b→2·cosθ-b→2=0.

故cosθ=12，θ=π3.

3 试题反思

向量是近代数学中重要的、基本的数学概念，它既是代数的对象，又是几何的对象，也是研究几何问题的一个重要工具.向量作为一种既有大小，又有方向的量，既具有形的特征，可以通过构造向量来处理代数问题，使问题简单化;又具备数的特性，可以将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算.向量是联系数和形的纽带，是培养数形结合思想与直观想象素养的重要载体.因此，对于本题，如果仅仅停留在上述解法，显然没有深刻体会到向量的双重性质，没有深刻领悟到向量的本质内涵.此题还可以采用如下解法.

解法1 如图1，设a→=OA，b→=OB，则a→-b→=OA-OB=BA.由a→-b→⊥b→得BA⊥OB.

又a→=2b→，所以OA=2OB.故∠OAB=30°，∠BOA=60°.则a→与b→的夹角为π3.

评注 解法1抓住了向量的几何性质，将代數形态的a→-b→⊥b→转化成几何形态的两条线段垂直，从而构造出直角三角形，借助直角三角形中的边角关系迅速求解.由此可见，本道试题不仅仅注重对数学运算素养的考查，更注重对直观想象素养的考查，这才是命题者命制本道高考试题的初衷.

解法2 如图2，a→=2b→=2，设a→=OA，b→=OB，则点B在以O0，0为圆心，1为半径的圆上运动;点A在以O0，0为圆心，2为半径的圆上运动.

a→-b→=OA-OB=BA.由a→-b→⊥b→得BA⊥OB.

所以AB是小圆在点B处的切线.

故a→与b→的夹角为π3.

评注 解法2引入平面直角坐标系，将代数问题转化成两个圆上的动点问题，更加深刻地体现了本道高考试题的几何特性：圆中的向量问题.解法2充分体现了向量解法对几何整体综合性质的把握和代数精确分析的完美结合.因此，本题其实是披着代数的外衣，考查的却是几何的内容，凸显的是对直观想象素养的考查.

4 教学反思

不难看出，对于本道高考试题，如果仅仅停留在代数的解法，显然不能洞悉试题背后的深层次要素，不能体现命题者命制此试题的初衷，甚至是肤浅的.然而在实际解题中有不少学生仍然只停留在代数法的层面，无法从几何特征的角度入手求解，这不能不说是教学失误造成的.在向量的教学中，教师重代数运算，轻几何特征角度的分析是造成这种现象的原因.在向量整章的教学中应处处渗透几何特征的运用以及直观想象素养的培养.

4.1 向量概念的教学

向量的概念是从实际生活中引入的，结合物理中的位移、力等矢量得到数学中的向量.这些都需要借助几何图形进行分析，无形中就渗透了几何图形观念.另外，由数轴上的点代表实数联想到借助有向线段表示向量，由数轴上点到原点的距离用绝对值表示联想向量的模长，这些都渗透了直观想象素养的培养.

4.2 向量加法的几何意义的教学

向量加法的三角形法则和平行四边形法则的探究是建立在物理中位移的合成、速度的合成以及力的合成等的基础之上.这不可避免的需要借助图形分析问题、解决问题，是渗透数形结合思想，培养直观想象素养的良好载体.

4.3 平面向量基本定理的教学

在用向量研究和解决问题中，平面向量基本定理是理论基础.这个定理揭示了平面向量是由平面内两个不共线向量生成的.它不仅提供了向量的几何表示方法，同时也使向量用坐标来表示成为可能，从而架起了向量的几何运算与代数运算之间的桥梁.实际上从教材对定理的介绍来看，图形语言是平面向量基本定理最基本、最直观的几何解释，本质是向量的平行分解，也是向量加法运算（平行四边形法则）的逆过程.实际上很多向量问题都可通过定理的几何特性得到解决.

4.4 数量积

数量积是学生在学习了向量的加法、减法和数乘向量这些线性运算之后学习的一种新运算.这不仅是为了构建较完整的向量运算体系，更是为了解决与度量有关的几何问题的需要.数量积具有三种形态：代数形态，几何形态，恒等形态.其中的几何形态是沟通代数与几何的桥梁，蕴含丰富的数学思想方法，是培养学生直观想象的重要载体.

在实际教学中，教师应当以课本为载体，在注重向量代数运算的同时，加强从几何特征的角度分析向量问题.尽管几何法对平面向量的相关几何意义的要求较高，但这种方法更能揭示问题的背景，让学生更为全面而深刻地理解问题.唯有如此，才能实现对向量教学的整体把握以及提升学生的直观想象素养和数学思维能力.

5 试题变式

变式1 设a→=t，2-t，b→=1，a→-b→⊥b→，则a→与b→夹角的最小值为.

解析 如图3，设a→=OA，b→=OB，则点A在直线x+y=2上运动，点B在圆x2+y2=1上运动.

所以a→-b→=OA-OB=BA.

由a→-b→⊥b→得BA⊥OB.

所以cos∠AOB=OBOA=1OA.

当点A在直线x+y=2上运动时，OA的最小值即为点O0，0到直线x+y=2的距离，所以OA最小值为2.故a→与b→夹角的最小值为π4.

变式2 设AB=2BC=2CD，AB=2，点P，Q满足AQ-AB·AQ-AD=0.CP·CQ=1.若PQ=3，求cos∠PAB的最小值.

解析 如圖4，由已知可得BQ⊥DQ，点Q在以C为圆心，1为半径的圆上.

由CP·CQ=1，结合数量积的几何意义可得CQ乘以CP在CQ上的投影结果是1.故CP在CQ上的投影恰好是1.所以PQ⊥QC，则CP=2.故点P在以C为圆心，2为半径的圆上.

连接AP，当AP与圆相切时，∠PAB最大，此时cos∠PAB最小.由CP=2，AC=3，得AP=5.此时cos∠PAB最小值为53.

变式3 设θ为两个非零向量a→，b→的夹角，已知对任意的实数t，b→+ta→的最小值为1.则（ ）.

A.若θ确定，则a→唯一确定

B.若θ确定，则b→唯一确定

C.若a→确定，则θ唯一确定

D.若b→确定，则θ唯一确定

解析 如图5，设OA=b→，AB=a→，AP=ta→.易知点P的轨迹在直线AB上，且OP的最小值为1.也就是点O到直线AB的距离OC=1.显然b→sinθ=1.

故当θ确定时，则b→唯一确定.选B.

变式4 已知a→≠e→，e→=1，满足对任意t∈R，恒有a→-te→≥a→-e→，则（ ）.

A.a→⊥e→     B.a→⊥a→-e→

C.e→⊥a→-e→D.a→+e→⊥a→-e→

解析 如图6，设OA=a→，OE=e→，OB=te→.EA=a→-e→，BA=a→-te→.易知点B的轨迹在直线OE上.

因为a→-te→≥a→-e→，所以BA→≥EA→.

故AE⊥OB.选C.

变式5 已知a→，b→，e→是平面向量，e→是单位向量.若非零向量a→与e→的夹角为π3，向量b→满足b→2-4e→·b→+3=0，则a→-b→的最小值是.

解析 如图7，由b→2-4e→·b→+3=0得b→2-4e→·b→+4e→2-1=0.所以b→-2e→=1.

设OA=a→，OB=b→，OE=e→，OT=2e→.由已知可得OA与OE夹角为60°，点B在以T为圆心，1为半径的圆上运动，点A在射线OA上运动，射线OA方程为y=3x.a→-b→的最小值为圆心T到射线OA的距离减去半径，即|a→-b→|的最小值为3-1.

参考文献：

[1]苏艺伟.五环节教学，提升习题课品质[J].中国数学教育，2017（18）：22-26.