王伯龙

摘 要：函数与导数考题本质上是考查利用导数研究函数图象的特征，建立数与形的联系.因此借助函数图象的直观性，对于进一步分析探索出解决函数问题的策略，寻求到解决函数问题的思路方法，将起着决定性的作用.而借助GeoGebra平台的绘图功能和动态演示功能，正是一种破解之道.

关键词：信息技术;函数图象;GeoGebra平台

函数是贯穿于高中数学教学的一条主线，也是高考数学命题的主干知识.纵观近年来的高考试题，不论是在主观试题还是客观试题的命制上，函数内容都占有相当的权重，常常作为压轴题.考查的内容丰富多样，覆盖了函数的极值、最值、单调性、零点、参数的取值范围等相关知识点.渗透了函数与方程、转化与划归、数形结合等思想方法，提升了逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，培养学生的创新思维能力.大多试题本质上是考查利用导数研究函数图象的特征，建立数与形的联系.因此若能借助函数图象的直观性，对于进一步分析探索出解决函数问题的策略，寻求到解决函数问题的思路方法，将起着决定性的作用.现撷取2019年高考函数精彩试题几例，借助于GeoGebra平台的绘图功能和动态演示功能，寻求其破解之道.

1 技术支持、探索思路、寻求突破

例1 （2019年浙江卷第9题）设a，b∈R，函数f（x）=x，x<0，13x3-12（a+1）x2+ax，x≥0.若函数y=f（x）-ax-b恰有3个零点，则（ ）.

A.a<-1，b<0   B.a<-1，b>0

C.a>-1，b<0   D.a>-1，b>0

分析 本题考查含参数的零点问题，所给的函数是分段函数，题干中含有两个参数a，b，且多项式的次数是3次，入手比较困难，我们可以借助于GeoGebra平台的绘图功能和动态演示功能，画出函数的图象，通过改变参数a，b的值，让图象动态变化，寻求解题的突破口.

在GeoGebra界面上绘制出函数y=（1-a）x-b，x<013x3-12（a+1）x2-b，x≥0的图象，如图1，滑动滑杆a，b（改变a，b的值）让图象动态变化，观察到参数a决定图象的形状，参数b决定图象的位置.若函数y=f（x）-ax-b恰有3个零点，只需第一段函数有一个零点，且第二段函数有两个零点即可.这就是解此题的突破口.

解析 由g′（x）=x2-（a+1）x=x[x-（a+1）]=0，得x=0或x=a+1.

由以上分析知，若函数y=13x3-12（a+1）x2-b在[0，+∞）上恰有两个零点，且y=（1-a）x-b在（-∞，0）上有一个零点，则有

-b<0，a+1>0，g（a+1）=-16（a+1）3-b<0，1-a>0.

解得-1

评析 GeoGebra技术支持图象动态变化，探索出参数a，b的本质属性，借助于图象获得解题的突破口.思路简洁，容易理解.

例2 （2019年全国Ⅲ卷理12）设函数f（x）=sin（ωx+π5）（ω>0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f（x）在（0，2π）上有且仅有3个极大值点;②f（x）在（0，2π）上有且仅有5个极小值点;③f（x）在（0，π10）上单调递增;④ω的取值范围是[125，2910].其中所有正确结论的编号是（ ）.

A.①④  B.②③  C.①②③  D.①③④

分析 本题考查含参数的三角函数的相关知识，试题涉及到函数的零点、极值点、单调性、参数的取值范围等，设计新颖独特，具有一定的区分度和选拔功能.学生只有对四个结论逐一检验，才能得出正确的选项.试题对学生考查的标准比较高，对考生来说，是有一定难度的.我们可以借助于GeoGebra平台的绘图功能和动态演示功能，画出函数的图象，通过改变参数ω的值，让图象动态变化，寻求解题的突破口.

在GeoGebra界面上繪制出函数f（x）=sin（ωx+π5）（ω>0）的图象，如图2所示，滑动滑杆ω，在拉伸或压缩图象的过程中，满足条件f（x）在[0，2π]上有且仅有5个零点的关键是x轴正方向上的第五个零点的坐标x5≤2π，且第六个零点的坐标x6>2π.这就是解决问题的突破口.

解析 设xi（i=1，2，3，4，5，6）表示x轴正方向上函数f（x）的第i个零点.由ωx1+π5=π，得x1=4π5ω.因为T=2πω，所以x5=4π5ω+4·T2=24π5ω，x6=4π5ω+5·T2=29π5ω.由于f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，因而x5≤2π，x6>2π，解得125≤ω<2910.所以④正确.

设yi（i=1，2，3，…）表示x轴正方向上函数f（x）的第i个极大值点. 由ωy1+π5=π2，得y1=3π10ω.yi=y1+（i-1）T=3π10ω+2（i-1）πω（i=1，2，3，…）.

因而由125≤ω<2910，易检验得y3<2π，y4>2π.所以①正确.

设zi（i=1，2，3，…）表示x轴正方向上函数f（x）的第i个极小值点. 由ωz1+π5=3π2，得z=13π10ω.zi=z1+（i-1）T=13π10ω+2（i-1）πω（i=1，2，3，…）.

因而由125≤ω<2910，易解得53π29

因为函数f（x）在（0，4π5ω）上单调递增，由125≤ω<2910，得8π29<4π5ω≤π3，因而π10<4π5ω.所以（0，π10）（0，4π5ω）.因此f（x）在（0，π10）上单调递增，所以③正确.