杨坤林 刘成龙

摘 要：本文由两道高考试题引发了对面积最值问题的研究，得到了圆锥曲线中关于面积最值的9个定理.

关键词：圆锥曲线;面积最值;定理

试题1 （2007年全国Ⅰ卷理第科21题）已知椭圆x23+y22=1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆于B，D两点，过点F2的直线交椭圆于A，C两点，且AC⊥BD，垂足为点P.求四边形ABCD的面积的最小值.

试题2 （2005年全国Ⅱ卷理科第21题）P，Q，M，N四点都在椭圆x2+y22=1上，点F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知PF与FQ共线，MF与FN共线，且PF·MF=0.求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.

通过研究，笔者发现试题1、试题2从表面上看无多大联系，但本质上考查的都是圆锥曲线中四边形面積最值问题，其解法也基本相同.因此，我们可将这两道试题作为同一类问题进行研究.现分别得到了试题的一般形式，如下：

定理1 设点F1，F2是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两个焦点，过点F1的直线l1交椭圆于A，C两点，过点F2的直线l2交椭圆于B，D两点，且l1⊥l2，

则（SABCD）min=8a2b4（a2+b2）2，（SABCD）max=2b2.

证明 （1）如图1，当直线l1的斜率k存在且k≠0时，直线l1的方程为y=k（x+c）.

于是由x2a2+y2b2=1，y=k（x+c）， 得

（a2k2+b2）x2+2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0.

所以xA+xC=-2a2k2ca2k2+b2，xA·xC=a2k2c2-a2b2a2k2+b2.

于是AC=1+k2xA-xC=1+k2·（xA+xC）2-4xAxC=2ab2（1+k2）a2k2+b2.

由l1⊥l2可得直线l2的斜率kl2=-1k，同理可得BD=2ab2（1+k2）a2+b2k2.

所以SABCD=12AC·BD

=12·2ab2（1+k2）a2k2+b2·2ab2（1+k2）a2+b2k2

=2a2b4+4a2b4k2+2a2b4k4a2b2k4+（a4+b4）k2+a2b2

=2b2-2b2（a4+b4）-4a2b4a2b2k2+a2b2k2+（a4+b4）.

又因为2b2（a4+b4）>4a2b4，所以SABCD<2b2.

同时2b2-2b2（a4+b4）-4a2b4a2b2k2+a2b2k2+（a4+b4）≥8a2b4（a2+b2）2.即SABCD≥8a2b4（a2+b2）2，当且仅当k=±1时等号成立.

（2）当直线l1的斜率k不存在时，即l1与x轴垂直，l2与x轴重合.容易计算，yA  = b2a.

所以AC=2yA  = 2b2a.

又因为BD=2a，所以SABCD=12AC·BD=12·2b2a·2a=2b2.

（3）当直线l1的斜率k=0时，即l1与x轴重合，l2与x轴垂直.同（2）可求得SABCD=2b2.

综上，（SABCD）min=8a2b4（a2+b2）2，（SABCD）max=2b2.

定理2 设点F是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一焦点，过点F的直线l1，l2分别交椭圆于A，C和B，D，且l1⊥l2，则（SABCD）min=8a2b4（a2+b2）2，（SABCD）max=2b2.

不难看出，定理1、定理2从结构上和本质上都相同.定理2的证明方法同定理1，过程略.

类比椭圆中四边形面积最值的问题，笔者得到了双曲线和抛物线中四边形面积最值的结论，如下：

定理3 设点F是双曲线x2a2-y2b2=1（a≠b，且a，b>0）的右（或左）焦点，过点F的直线l1，l2分别交双曲线的右（或左）支于A，C和B，D，且l1⊥l2，则（SABCD）min=8a2b4（a2-b2）2.

定理3的证明方法同定理1，过程略.

定理4 设点F是抛物线y2=2px（p>0）的焦点，过点F的直线l1，l2分别交抛物线于A，C和B，D，且l1⊥l2，则（SABCD）min=8p2.

证明 （1）如图2，当直线l1的斜率k存在且k≠0时，l1的方程为y=k（x-p2）.①

于是联立y2=2px和①式得，

k2x2-（pk2+2p）x+p2k24=0.

所以xA+xC=pk2+2pk2，xA·xC=p2k24k2=p24 .

于是AC=1+k2xA-xC

=1+k2·（xA+xC）2-4xAxC=2p（1+k2）k2.

由l1⊥l2可得直线l2的斜率kl2=-1k，同理可得BD=

2p（1+k2）.

所以SABCD=12AC·BD=12·2p（1+k2）k2·2p（1+k2）=2p2（1+k2）2k2≥2p2·4k2k2=8p2.

即当k2=1时，SABCD=8p2

（2）当直线l1的斜率k不存在时，即l1与x轴垂直，l2与x轴重合，则不能构成四边形ABCD.

（3）当直线l1的斜率k=0时，即l1与x轴重合，l2与x轴垂直，同样可知不能构成四边形ABCD.

综上所述，（SABCD）min=8p2.

类比圆锥曲线中四边形面积最值问题，笔者进一步探讨了圆锥曲线中圆和三角形的面积最值问题，得到如下结论：

定理5 设圆M是与抛物线y2=2px（p>0）顶点O相切的内切圆，其中点M为圆心，半径长为r，则（S⊙M）max=πp2.

证明 如图3，设抛物线上任意一点为P（x，y），则PM≥r.又M（r，0），则PM=（x-r）2+y2.

即得（x-r）2+y2≥r2.整理得x2-2xr+y2≥0.

再将y2=2px代入上式，得x2-2xr+2px≥0.

变形得r≤x2+2px2x=x2+p.

又因为x≥0，所以当x=0时，rmax=p.

故（S⊙M）max=πp2.

定理6 设圆M在椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的内部，且与椭圆的右（或左）顶点相切，其中点M为圆心，则（S⊙M）max=πb4a2.（证明方法同定理5，过程略.）

定理7 设圆M在双曲线x2a2-y2b2=1右（或左）支内部，且与双曲线的右（或左）顶点相切，其中点M为圆心，则（S⊙M）max=πb4a2.（证明方法同定理5，过程略.）

定理8 设F是抛物线x2=2py（p>0）的焦点，过F的直线交抛物线于A，B两点，则（S△AOB）min=p22.

证明 如图4，设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为y=kx+p2.

于是由x2=2py，y=kx+p2， 得x2-2pkx-p2=0.

所以有xA+xB=2pk，xA·xB=-p2.

所以S△AOB=12OF·xA-xB=12·p2·（xA+xB）2-4xAxB=p22·1+k2.

当k=0时，（S△AOB）min=p22.

定理9 设点F1，F2是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两个焦点，点P为椭圆上不同于实轴的一动点，则（S△F1PF2）max=bc.（定理9的证明方法较为简单，证明过程略.）

文中得到了9个定理，每一个定理就是一个数学模型，每一个模型代表了一类问题.定理的形成过程实际上就是一类问题的解决过程.因此，文中的9个定理对问题的解决有积极的指导作用.