孙中廷

摘要：压缩感知中测量矩阵是数据采样和信号重构的关键，传统测量矩阵存在重构计算复杂度高、内存耗用大和随机不可控等问题。利用Logistic混沌序列优良的随机特性，对Bernoulli测量矩阵进行改进，提出一种复杂度较低的混沌Bernoulli测量矩阵。首先通过Logistic混沌系统产生混沌序列，然后运用符号函数进行映射生成Bernoulli分布的随机序列，最后将其构造为测量矩阵并在一维信号和二维图像的采样、重构中应用。仿真结果表明，基于Logistic混沌Bernoulli测量矩阵在大幅降低存储容量与计算复杂度的情况下，提高了精确性与鲁棒性。

关键词：压缩感知;测量矩阵;混沌序列;Logistic系统;稀疏采样

中图分类号：TP305        文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2019）27-0250-03

Abstract： Based on the traditional measurement matrix are the shortcoming of poor stability， this paper uses stochastic properties of chaotic sequences of the Logistic is excellent， the Bernoulli measurement matrix is improved， presents a very low complexity of chaotic Bernoulli measurement matrix. Chaotic sequence is generated by Logistic chaotic system， then use the sign function of stochastic matrix mapping to generate the Bernoulli distribution， the sequence is used to construct the measurement matrix. The one-dimensional signal and two-dimensional image reconstruction results show that one-dimensional signal and image reconstruction for signal-to-noise ratio based on the chaotic Bernoulli measurement matrix are better than Bernoulli matrix and Gaussion matrix， which proves the reliability and effectiveness of the algorithm.

Key words： Compressed Sensing; Measurement Matrix; Chaotic Sequence; Logistic System; Sparse Sampling

在采样理论的研究中，压缩感知受到越来越多的关注，该理论是由[Donoho][1]和[Cande][2]等人率先提出的，它突破原采樣理论中采样频率的理解，将信息的压缩处理与灵敏据采集处理同时进行，这样采集信息的数量会有极大减少，从而实现对数据的存储空间和时间的节省。

LeiYu[3]对从计算时间的角度分析混沌序列并构建测量矩阵，通过多角度对比，证明该矩阵满足有限等距性并对该矩阵的可行性进行了验证。顾国生等人[4]利用符号混沌系统的伪随机序列对压缩感知的测量矩阵进行构建，通过实验，证明该方法的可行性和有效性。但以上两种方法均具有复杂度偏高和计算量过大的缺点。将两种异同随机矩阵应用于一维与二维两种不同的信息中进行仿真比对，实验证明，此种测量矩阵对执行效率和鲁棒性有明显提高。

1 压缩感知

假设一维信号[X∈RN×1]，[X]可通过一组[N×N]正交基[ψ={ψ1，ψ2，...，ψN}]进行表达，其表达式如公式（1）所示[5-6]：

公式（1）中，[θk=]，[X，θ]均为[N×1]维向量。当信号[X]在某个正交基[ψ]上有[K<

信息[X]通过在测量矩阵[?]映射得到结果的[Y]可以用（2）式表示：

由公式（1）（2）可得：

在重构信号的过程中，如果测量矩阵选取不当会现出“病态”问题。可以转化成求解[l0]范数最小化来解决[7]，如式（4）所示：

为了求解公式（4），研究学者提出了很多计算方法，比较经典的有正交匹配追踪法、迭代硬阈值法法、公段正交匹配追踪法、基追踪法等。

2 基于混沌矩阵的[Bernoulli]测量矩阵的构造

混沌现象广泛地存在于非线性系统之中，其是一种非周期性运动形式。由于混沌系统所产生的序列具有良好的伪随机性质，所以混沌序列被广泛地应用于信号处理、非线性控制以及图像加密等相关领域。

已知[Logistic]混沌系统的表达式如公式（5）所示[8]：

公式（5）中，[xn∈[-1，1]]，[μ∈[1.872，2.0]]，当公式（5）的初始值[x0=0.23，0.37或0.7]时，生成混沌序列。

运用[Logistic]混沌序列[xn]，运用公式（6）将其转换为一种新型映射序列[an]。

通过参考文献[9]得出，当[μ=2.0]时，利用[Logistic]混沌系统生成的混沌序列[xn]符合[Bernoulli]分布，并且满足有限等距性，因此将选取[an]当作测量矩阵。

混沌矩阵的[Bernoulli]测量矩阵的构造步骤如下：

（1）运用公式（5）生成混沌序列[xn]，[xn]的长度是[n=M×N-1]。通过不断实验得出，当[μ=2.0]时，初始值[x0=0.23，0.37或0.7]时，重构的误差分别为[0.098，0.083，0.090，]为此，本文进行初始操作为[x0=0.37]，[μ=2.0]。

（2）将步骤（1）生成的[Logistic]混沌序列运用公式（6）进行符号函数映射，构建序列[an]。

（3）选取截断长[N]，对映射序列[an]进行截断操作，构造[M×N]的矩阵[?]作为测量矩阵。

参考文献[5]的算法有一定的优点，但算法复杂度较高，远超过[ο（N2）]，为此本文提出了改进的算法，通过实验得出其复杂度为[ο（M×N）（M<

由[Logistic_Bernoulli]和[Bernoulli]随机序列对比图和直方图对比图得出，[Logistic_Bernoulli]随机序列中[1和-1]的数量相近，比值均与1相距很小，这表示[Logistic_Bernoulli]随机序列有较好的鲁棒性和平均性，优于原始的[Bernoulli]随机序列。

3 运用正交匹配追踪算法及[Logistic_Bernoulli]测量矩阵对信号进行重构

3.1正交匹配追踪算法

正交匹配追踪算法算法是运用Gram-Schmidt正交化方法对所选原子进行正交处理，通过正交化之后，将信号投影在正交原子的空间中，得到信号在原子投影空间中的信号分量和信号余量，然后运用相同的方法继续分解信号余量。在信号分解过程中，原子的选定都要符合相应的条件，因此信号余量在分解的过程中迅速减小。通过递归方法实现原子集合的正交化处理不仅保证了最优的迭代性，同时实现迭代次数的最小化。

匹配追踪相关算法的系数[u]，大多使用信号余量[r]和感知矩阵[Φ]，通过计算各个原子之间内积的绝对值获得[11-12]：

同时运用最小二乘法实现信号逼近和余量更新：

基于[Logistic_Bernoulli]测量矩阵的OMP算法的算法流程如下：

输入：维度大小为[M×N]的[Logistic_Bernoulli]测量矩阵[?]

输出：信号[X]的[K]稀疏的逼近[X]

Step1：初始余量[r0=Y]，迭代次数[n=1]，索引值集合[Λ=?]，[J=?];

Step2：计算相关系数[u] ，并将[u]中最大值对应的索引值存入[J]中;

Step3：更新[ΦΛ]，其中[Λ=Λ?J0];

Step4：运用最小二乘法计算得到[X]，同时运用式（9）对余量进行更新;

Step5：若[rnew-r≥ε2]，令[r=rnew]，[n=n+1]，转步骤Step2;否则，停止迭代。

3.2 评价指标

假设原始信号为[X]，重构信号为[X]，以信噪比、重构误差以及匹配度三个指标来评价压缩感知重构的效果。

信噪比：[PSNR=10lg|X|2|X-X|2]         （10）

重构误差：[MSE=X-X2X2]             （11）

匹配度：[α=1-X2-X2X2+X2]              （12）

二维图像的信噪比：

[PSNR=10lg255×255×W×H（I-I）2]               （13）

其中，[W，H]分别表示图像的宽度和高度，[I，I]分别表示原始图像和重构图像。

4 仿真实验

为了对相关算法有效性和鲁棒性进行验证，本文以两个仿真实例为研究对象，研究本文算法对一维信号和二维图像进行压缩感知重构的效果。

4.1 一维信号重构

假设原始信号[x（t）=3cos（2*pi*f*Ts*ts）]，信号频率[f=50Hz]，采样频率[fs=800Hz]，采樣间隔[ts=1/fs]，采样序列长度[TS]，文中采样序列长度[TS=256]，测量数[M=64]，稀疏度[K=7]，原始信号波形图如图2所示：

由图2基于[Logistic_Bernoulli]测量矩阵一维信号重构结果图可知，本文算法几乎完全实现原始信号的重构，重构效果很好，其与不同测量矩阵的对比结果如表1所示。

由表1可知，基于[Logistic_Bernoulli]测量矩阵的信号重构，其信噪比[PSNR]可以得到3分贝的提高，与此同时其匹配度和重构误差都有一定程度的提高和降低，实验表明本算法能够较大幅度提高有效性。

5 结论

针对传统测量矩阵具有随机性和平均性差的缺点，将[Logistic]混沌序列引入压缩感知理论，构造出新的[Logistic_Bernoulli]测量矩阵并将其应用于压缩感知代替传统的测量矩阵，构造出基于[Logistic_Bernoulli]测量矩阵的OMP信号重构算法。一维信号和二维图像重构结果表明，基于[Logistic_Bernoulli]测量矩阵一维信号和图像重构的信噪比优于[Bernoulli]矩阵和[Gaussion]矩阵，进而可以验证本文算法的鲁棒性和有效性。

参考文献：

[1] Donoho D.Compressed sensing[J].IEEE Transactions on Information Theory，2006，52（4）：1289-1306.

[2] Candes E.Compressive sampling[C]//Proceedings of the International Congress of Mathematicians，Madrid，Spain，2006.

[3] Yu L，Barbot J P，Zheng G，et al.Compressive sensing with chaotic sequence[J].IEEE Signal Processing Letters，2010，17（8）：731-734.

[4] 王知人， 张德生， 聂栋栋. Logistic混沌序列压缩感知测量矩阵构造[J].小型微型计算机系统，2016，37（3）：588-592.

[5] 蔡荣文. 基于改进的Bernoulli矩阵压缩感知图像重构算法[J].山东农业大学学报（自然科学版）， 2016（1）：107-110.

[6] 臧华中， ZANGHuazhong. 基于Logistic混沌-贝努力序列的循环压缩测量矩阵构造算法[J].四川理工学院学报（自科版）， 2015， 28（5）：31-36.

[7] 孙宪坤， 陈涛， 韩华，等. 基于Kent混沌测量矩阵的压缩感知图像重构算法[J].计算机应用与软件， 2017， 34（4）：213-220.

[8] 周伟， 景博， 黄以锋.一种基于复合混沌映射的压缩感知测量矩阵构造方法研究[J].电子学报，2017（9）： 2177-2183.

[9] 胡行华， 史明洁. 帐篷混沌序列稀疏测量矩阵构造[J].传感器与微系统，2017，36（7）：50-52.

[10] 李楠， 任清华， 苏玉泽. TDCS压缩感知观测矩阵构造方法[J].计算机工程与设计，2017，38（1）：7-11.

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