首先,对任意M＞1的自然数,令T=,要通过微积分严格证明X=TTT…(无穷多个T)的写法是成立的。用微积分的术语来说,TTT…是存在极限的,令a1=T,a2=TT,…,an=TT…T(即n个T重次方),对于数列a1,a2,…,an来说,先证明数列是单调递增的,因为所以an=TT…T＞TT…1=an-1(TT…1指前面n-1个次方都是T,最后一个次方等于1)。

以上说明数列{an}是单调递增的,又因为所以an=TT…T＜TT…M=M,(TT…M指前面n-1个次方都是T,最后一个次方为M),所以数列{an}是上方有界的,上方有界且单调递增序列必有极限,而当n趋于无穷时,恰为TTT…,这就证明TTT…是存在极限的。也就是x=TTT…的写法是有意义的,而且因为T＞1,所以x≥1。那么极限x必须满足即,很显然单纯从这个方程来看,x=M是方程的的一个根。而前面采用简单数学方法推理存在的问题,一是不严谨,没有证明TTT…极限的存在,就默认它存在,二是想当然地认为当时,x只能等于M。满足只是x等于TTT…的必要条件,而不是充分条件,如果根在(1,+∞)上唯一,确实只能是x=M,如果根不唯一,则还需要在众多根中找出唯一符合条件的那个根。

图1

由图中可以看出,当x＞1时,曲线的最高坐标为曲线在(1,e)区间上时较为陡峭,在(e,+∞)上时则相对平缓,并且当x趋于无穷时,函数的曲线以y=1为渐近线,因此对于,都与曲线有二个交点,特别是当时恰与曲线在点(e,相切。

当M取特殊值e,时,同样可以证明x=TTT…存在极限,恰满足由于因为f(x)在(0,1)上递增,因此f(x)在(0,1)上都小于0,同样在(e,+∞)上也小于0,因此在(1,+∞)上只有唯一根e,也就是说(即无穷多个次方),对任意M＞1的自然数,T=,因为T＜e,所以x=TTT…＜eee…=e,所以TTT…的极限x必定符合且x＜e,所以TTT…这个极限只能是方程的左根,右根虽然满足但却大于TTT…,只能是TTT…=αM。而当M=2时,x=2满足条件2＜e,且因此成立,而对于M＞的多穷多个次方不等于M,而是等于一个存在于(1,e)之间,满足的左根αM,这个αM未必有M的确定数学表达式形式,但肯定唯一存在。

很明显,αM是一个由M确定的数,进一步的研究可以得出,对任意二个自然数M＞N＞e,函数在(e,+∞)上递减,所以所以很容易得出αM＜αN,这与前面类比方法得出等于M这个结论是恰好相反的,即的无穷多个次方随着M的增大,这个极限数据是越来越小的,但都大于1。