黄灏　何昌贵　何炳春

【摘 要】通过中小学数学课堂，我们要教、引导或传递什么？这是一个貌似极易回答的问题，因为放眼国内中小学数学课堂，充满了数字、符号、公式和运算，以及题型分类、技巧总结等微观战术，但如果仅止步于此，笔者认为，那只能算是“教书”，并没有“育人”，而后者更为重要，影响更加深远。那么，数学课堂如何将教书、育人有机融合？为形象、准确地回答此问题，本文以《圆柱的体积》说课为例，从渗透数学文化、启蒙思维方法、导入数学公式和引导深入思考几个层面予以阐释，探讨数学课堂授之以“渔”的重要性、必要性和可循方法。

【关键词】数学文化;思维方法;启发思考

【中图分类号】G623.5  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2019）22-0198-03

1   渗透数学文化：创新+思考

所谓“育人”，不能简单地认为是通过政治课堂、思想教导就可以完成的，这是狭义层面的认知。广义而言，文化传递、思维训练和习惯培养等都属于“育人”的范畴。毋庸置疑，各学科都承担着“育人”的重要使命，数学课堂亦不例外。张奠宙先生指出：“数学文化必须走进课堂”。那么，什么是数学文化，学界尚无确切的定义，我们也没有必要纠结其具体内涵，但可以从数学文化的导入方式、主要目的和重要意义等方面予以理解。

数学课堂的组成元素，并非只有数字、符号和公式，老师还可以挖掘、引入与本课堂相关的妙趣横生的故事和血肉丰满的人物，让学生徜徉在数学历史中，深切感受解决数学问题时历经周折的艰辛、奇思妙想的乐趣和取得成果后的欣喜，深入体会数学学科的重要价值与永恒魅力，极大激发其学习数学的欲望和提升其学习数学的兴趣，无形中牵引着学生探讨数学问题的信心。

以《圆柱的体积》课堂为例，相对直接“和盘托出”圆柱的体积公式，在课堂开始时，用8-10分钟时间导入如下有趣的故事，更能勾起学生的兴趣。故事名为“面积也可以称出来”：有一个县为了搞农业规划，需要准确地计算出全县的土地面积。地图上虽然有比例尺，但是县的边界是弯弯曲曲的，怎样才能计算出这个县的面积呢？有一位木工师傅想出了一个巧妙的方法。他把地图贴在一块厚薄均匀的木板上，沿着这个县的边界锯下一块来，仔细地称出这块本板地图的重量。他再从同一块本板上锯下一平方米木板，也仔细地称出它的重量。这样，只要算出木板地图的重量是一平方米木板的多少倍，就知道木板地图的面积是多少平方米。再把这个数乘以地图比例尺的平方，就是这个县的面积。

这个“称面积”的数学故事，与其说是在教授一种“称”的方法，不如说是让学生觉得“很有意思”，原来还可以如此脑洞大开，竟然还可以这般“神”操作，充分调动他们的学习兴趣和打开他们的思维空间。

洛伦S﹒巴里特在《教育的现象学研究手册》中说，“我们希望对学生认真负责的教师总是不断地根据学生的兴趣和需要来改变‘处理的方式”[1]，兴趣是最好的老师、欲望是前行的动力，在巧妙“破冰”之后，用投影趁势展现出本课教材情境图“圆柱体”，抛出第一个核心问题：圆柱体积如何计算？與圆柱的哪些元素相关？这时，学生将更加愿意去思考，更加大胆地去猜想，无论猜想正确与否，被动接受与这种能动性、参与性所产生的效果不可同日而语。

但是，受应试教育的影响，当前大部分数学教学依然过分关注数学知识的积累和数学技巧的训练，使数学逐渐丧失了原有的文化气质、价值魅力，仅剩下大量赤裸的数字、冰冷的公式和学生愁眉苦脸的运算，这是数学教育的悲哀。在这种狭隘教育理念和短期成绩导向下，从某种意义上来说，培养的是数学状元、奥林匹克竞赛冠军，但不等于是数学大家，后者才是数学价值的彰显者和创造者。为了还原数学本应有的文化温度，扫除学生畏惧、厌倦数学的种种障碍，逐渐改变日前普遍注重短期成绩的现象，笔者认为，老师应该怀揣一种传承数学文化的情怀与坚持，积极挖掘“创新+思考”的数学文化魅力，并通过一方讲台持续传播开去，从课堂文化层面，建立一种敢于打破常规思维、勇于大胆猜想的氛围，让数学的教与学的过程充满奇思、乐趣和成就感。

2   启蒙思维方法：类比、迁移、变形等

如果把一堂数学课比喻成一台侦探话剧，通过渗透数学文化调动起学生的求知欲只是起到了“搭台”和奏响乐器的作用，真正能够让学生深入其中去思考的最好方法，是老师预先设定好情景、道具和线索，让他们可以自行选择角色，借助已有的知识、方法和工具去探究答案，而不是坐在观众席上看着老师推导结果。因为“教育的目的不是让人类赞美一个现成的立法，而是让他们能够欣赏它，改变它[2]。”而“欣赏它，改变它”的前提，必定是发现、探寻到其中的奥妙或谬误之后才可能做出的行为。总之，填鸭式讲授，仅能让学生知其然;情景式探究，还可以让他们知其所以然，且是刻骨铭心、难以忘却的。

以《圆柱的体积》课堂为例，在8-10分钟数学文化渗透之后，设计20-25分钟的新知探究环节，让学生们踏上一场猜想验证之旅。操作如下：一是说明探究目的和注意事项;二是为学生提供圆柱（实心、空心各一个）、等分的圆柱、天平、长方体容器、水、几个同样大小圆柱形的橡皮泥、1立方厘米的小正方体（实心）、直尺等学习材料;三是把学生划分成若干小组，4人/组，让各组选择需要的材料开始探究。

我们在巡视中发现：有的小组根据探究圆面积时想到的画曲为直的方法直接选取等分的圆柱;有的小组根据探究长方体、正方体体积时所用的测量上升部分水的体积和溢出部分水的体积的方法;有的小组选择了圆柱形的橡皮泥，再把橡皮泥捏成长方体，进而测量长方体的长、宽、高求出体积;还有一个小组特别有想法，从开课时“称面积”的故事中得到启发，选择了天平和1立方厘米的小正方体，称出了材料中实心圆柱的体积。最后，经各小组共同商议，汇报展示了如下三种方法：（1）求上升部分水的体积和溢出部分水的体积;（2）圆柱体转化成长方体求体积。（3）称出圆柱的体积。这时，老师再进一步引导学生总结归纳，自然而然地导入圆柱体积的计算公式=底面积乘以高（sh）。

有人可能会说，不管怎么教，结论都是一样的，那么这一番“折腾”的意义何在？笔者认为，本课固然要教给学生圆柱体积的公式，但不是全部目的，训练其探究过程中的思维方法同等重要。“思维怀着去发现新事物的愉快心情和勇气走向世界，期待着天天都有新的发现”[3]，比如，学生借用橡皮泥将圆柱体“转化”为长方体，用“等积变形”的原理，将已掌握的长方体体积的计算方法“迁移”到圆柱体体积计算中来。如此以来，不仅可以加深学生对圆柱体体积公式的理解与记忆，还可以从小培养他们解决数学“新问题”的思维习惯。

数学学科的发展，必然是通过解决“新问题”来推动的。让我们做个极端的假设，假设学生记住了所有的数学公式，并归纳总结出了所有“老问题”的解决套路，那么在各种数学考试、竞赛中都将所向披靡，但如果他们不具备解决“新问题”的思维习惯与能力，一旦拐到“老问题”“套路”之外的跑道上，在一个需要创造性解决问题的情况下，极有可能出现不知所措、举步维艰的状况。这是一种可怕的现象，足以让数学学科停滞不前，以致于影响其他学科的发展。但是，目前很多数学课堂都在努力制造这种现象，教与学之间充斥的全是计算公式、解题技巧和考试秘籍，而忽略了数学思维方法的启蒙教育。笔者认为，着眼于数学学科的未来建设及社会文明的长远发展，这是值得深思并亟需做出方向性调整的，应逐步转向学生数学思维的敏锐性、创造性和批判性的培养上来。

3   引导深入思考：多种应用，多维思考

引导学生推出圆柱体积的计算公式=底面积乘以高（sh）之后，对于学生来说，就又获得了一种新的数学工具。在接下来的10分钟里，我们设计了“小试牛刀”的巩固练习环节，让学生可以亲自操刀去“解牛”，体会运用这个新工具的方法和要领，才能真正将口诀转化为应用，实现从理论到实践的转变。

在这个环节，我们设计了三道练习题和一个小视频。三道练习题都是求圆柱的体积，难度逐渐递进。第一道练习题属于“书本型”的，给出圆柱底面积的半径和圆柱的高，求圆柱体积;第二道练习题属于“应用型”的，通过两幅图展示，分别求房子上圆柱形的柱子需要多少木材、圆柱形的杯子能装多少水;第三道练习题则属于“思考型”的，只给出圆柱的侧面积和半径R，求圆柱的体积，再次引发学生的深度思考，然后引导展示出圆柱体积=二分之一侧面积×R。最后，利用2分钟播放小视频：阿基米德发现圆柱容球，给学生们留下进一步思考的空间。

为什么要引发学生的深入思考，而不是止步于圆柱体积公式的教导？笔者认为，如果说在学习过程中启蒙学生思维方法，利用旧知转化成新知、利用迁移规律把知识转化成技能、利用极限思想进行推导等，是为了让学生“学进去”，那么，这个环节则是让学生“用出来”。这里的“用出来”，包含几个层面，一是学会运用v=πr2h公式和给定的数值进行代入式计算，这是最基础的应用;二是能够利用圆柱体积公式解决水利、建筑等工程中的实际问题;三是将圆柱体积知识进行迁移，去思考所知数值不充分的圆柱体、不规则的圆柱体抑或圆锥等的体积计算办法，养成延伸式思考的习惯，这才是将知识转化为应用的正确解读。

不难发现，这又循环到了用“已知”去探究“新知”的环节，同其他学科一样，数学学习也应该是螺旋上升式的。然而，在应试教育理念作用下，很多学生所掌握的数学原理、方程式是背诵习得的，习得后就把它们安放在一排排的暗盒里，然后贴上标签，需要用到哪个就去相应的盒子里抽取。于是，这些原理、公式之间，左右是割裂的、上下是断层的。在这种情况下，即便它们的数量规模越来越大，却并不能产生创造性的生命力。因此，笔者认为，老师应该引导学生深入思考、积极钻研，逐步改变这种机械式的应用与输出局面。

综上所述，通过《圆柱的体积》说课，可知中小学数学课堂不仅要教会学生计算方法，还肩负着渗透数学文化、啟蒙数学思维方法和引导学生深入思考的使命，这些使命的意义和影响更加深远，值得每位数学老师去思考和践行。

附：《圆柱的体积》板书

【参考文献】

[1][美]洛伦S﹒巴里特，托恩﹒比克曼.教育的现象学研究手册[M].北京：教育科学出版社，2010.

[2]《关于国民教育的五篇论文》，第85、86、93页。

[3][德]E卡﹒西尔.启蒙哲学[M].济南：山东人民出版社，2007.