张洁

【摘 要】与解三角形相关的最值（范围）问题在高中数学中经常遇见，但是它涉及的知识面广，灵活性大，综合性强。本文结合具体的例题，归纳了求解三角形的角、边长、面积、周长这几类常见的取值范围与最值问题。

【关键词】解三角形;取值范围;最值

【中图分类号】G633.6  【文獻标识码】A  【文章编号】1671-8437（2019）22-0165-03

解三角形问题一直是高考的必考点，与解三角形相关的最值（范围）问题在高中数学中经常遇见，特别常见的是三角形的角、边长、面积、周长的取值范围与最值问题，由于它涉及的知识面广，灵活性大，综合性强，学生会比较害怕此类题目，因而总结归纳一些常见的题型有助于培养学生的数学思维能力和创新意识。

解三角形中常见的不等关系很多，如0c2等，解题中充分利用这些关系，结合不等式的相关性质，可以求出相关变量或解析式的范围或最值.本文结合具体的例题，归纳了以下几类常见的题型。

1   角的范围或最值

【例1】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，

c，设S为△ABC的面积，满足。（1）求角C的大小;（2）求sinA+sinB的最大值。

【解析】（1）由题意可知absinC=×2abcosC，所以tanC=，因为0

（2）由已知sinA+sinB=sinA+sin=sinA+sin=sinA+cosA+sinA=sin≤，。当A=，即△ABC为等边三角形时取等号。

所以sinA+sinB的最大值为。

本题借助三角形面积公式求出角C，得出角A和B的关系，进行消元，再由辅助角公式进行函数归一，将问题转化为求三角函数值域的问题。

利用消元思想和三角函数的有界性求解最值，是三角函数相关范围问题的基本思路，也是最常见的做法。

（2）【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是____。

【解析】sinA=sin（B+C）=2sinBsinCtanB+tanC=2tanBtanC，因此，tanAtanB

tanC=tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC≥

2≥8，即最小值为8。

消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据，这是做题的突破口，斜三角形ABC中恒有tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，这类同解三角形的正余弦定理，是一个关于正切的等量关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识。

2   边的范围或最值

【例2】（1）【2018高考江苏卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则的最小值为____。

【解析】由题意可知，S△ABC=S△ABD=S△BCD，由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，，因此，当且仅当时取等号，则的最小值为9。

求解三角形中边长的范围和最值的最常见的方法就是利用基本不等式来求解，本题的解题方法较多，可以将基本不等式结合三角形的面积公式，也可以结合三角形相似，还可以结合坐标法进行求解，但是最终一定还是会借助基本不等式才能完成本题，足见基本不等式对求解边长范围问题的重要性.

（2）【2018重庆市第一中学模拟】在△ABC中，角A，B，C的对边分别是，，，若， ，则的取值范围是____。

本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数的单调性与值域，解决这类问题的思路是利用正弦定理把边转化为角，再利用三角函数的性质求出范围或最值。

所以，解三角形中的边长范围问题还可以利用正弦定理进行边角转化，再借助三角函数的和差公式或者利用角的关系消元，通过辅助角公式和三角函数有界性求解最值，或者利用基本不等式这些方法来求边长的范围或者最值.

3   周长的范围或最值

【例3】【2017年三水一中三模第17题】在△ABC中，。

（1）求∠A的大小;

（2）若，求△ABC的周长的取值范围。

在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，可以将所有边的关系转化为角的关系，也可以将角的关系转化为边的关系;这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，借助于三角函数的有界性，从而求出范围或最值，或利用余弦定理以及基本不等式求范围，从而得最值。

周长问题也可看做是边长问题的延伸，所以在解决周长相关问题时，着眼于边长之间的关系，结合边长求最值（范围）的解决方式，通常都能找到正确的解题途径。

4   面积的范围或最值

面积问题通常是边长与角问题的综合，解题中既要考虑边的变化，也要考虑相关角的变化，通常是利用面积公式，将其转化为同一类元素，然后利用三角函数范围或者实数的不等关系求解。主要考查正、余弦定理和面积公式在解三角形中的应用，但是也会遇到一些借助二次函数求解三角形面积的范围问题。

【例4】【2018·湛江二模】己知△ABC中，AB=2，AC=BC，则△ABC面积的最大值是____.

【分析】设出BC长度是x，利用三角形的面积公式以及余弦定理得到关于x的二次函数，再利用二次函数的性质求出面积的最大值。

【解析】设BC=x，则△ABC面积

本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用。通过余弦定理与三角形面积公式转化为关于x的二次函数，再利用配方和二次函数的性质求得最值。

通过以上四种题型可以看出解三角形中的取值范围和最值问题主要是通过以下三种途径来解决：①借助消元法和辅助角公式将问题转化为三角函数的有界性来求解范围;②借助正余弦定理和基本不等式来求解范围;③借助余弦定理和二次函数的性质来求解范围.简言之，即为函数法和基本不等式法。

【参考文献】

[1]教育部.普通高中教科书数学必修4[M].北京：人民教育出版社A版，2015.

[2]高一数学提优学案，吉林大学出版社.

[3]张锡花.浅谈解三角形中的范围问题[J].读写算-素质教育论坛，2015（5）.

[4]吉冬林.知其然，知其所以然——浅谈解三角形问题的思路[J].中学课程辅导：高考版，2011（11）.