王青青 牛鑫

摘 要 本文研究有限等待空間下带有顾客流失的Gt/H2*/m/k队列模型，结合随机过程极限和概率测度收敛，应用连续映射等方法得到了高负荷条件下流失人数的极限表达。

关键词 有限等待空间 多服务队列 流失人数

中图分类号：TM911文献标识码：A

0引言

排队现象在日常生活中随处可见，由于等待空间有限造成的顾客流失也很频繁 Whitt在G/GI/n/m队列模型的扩散中对H2*服务时间分布的Z随机过程极限做了讨论。Liu Yu-nan，Whitt对Gt/M/st+GI队列模型用流体逼近的方法对参数随时间变化情况进行了研究。James Dong， Whitt结合生灭过程对周期队列的平稳分布进行了研究。本文在此基础上对到达率随时间变化的Gt/H2*/m/k模型进行研究。

1 Gt/H2*/m/k队列模型高负荷极限

假设系统的到达过程由2个独立到达源构成，且各自到达率随均随时间变化。有m个服务台，k个等待空间，服务时间分布从由概率为p的指数分布和概率为1-p的零点集分布构成的H2*分布，设到达过程与服务过程是相互独立的，且每个服务台平均服务率为，设是一系列非负随机变量，表示系统中第k个和第k-1个顾客的到达间隔时间，表示第i个服务台第k个顾客接受服务的时间，则有

其中，是系统中第k个顾客的到达时间，是第i个服务台前k个顾客累积服务时间。

构造2个到达率随时间变化的到达过程，

是随机到达计数过程满足FCLT，，是随时间变化的累积到达率函数，满足

是随时间变化的到达率函数，在有限区间内可积。

对到达率取均值，则

令，是第1，2类顾客到达计数过程，是顾客离去计数过程，则有

每个服务台离去的顾客数为：

整个系统离去的顾客数为：

设是任意t时刻的队长，是[0，t]内流失的顾客数。

对以上变量，以n作为指标，用n刻画时间，用刻画空间，表示不超过t的最大整数且，则有：

其中

2主要结论

定理1：（Gt/H2*/m/k队列模型流失人数的高负荷极限）对于Gt/H2*/m/k序列模型，令初始状态为空，设，，且，假设在空间上，有

且

则有

其中

参考文献

[1] Whitt，W. A diffusion approximation for the  queue [J].Operations Research，2004，52（06）：922-941.

[2] Liu Yunan，Whitt W. Many-server heavy-traffic limit for queues with time-varying parameters[J].The Annals of Applied Probability，2014，24（01）：378-421.

[3] Dong，J&W.Whitt.Using a birth-and-death process to estimate the steady-state distribution of a periodic queue[J].Naval Research Logistics，2015，62（08）：664-685.

[4] W Whitt.Stochastic Process Limits， Springer[M].New York： Spriner，2002.

[5] Billingsley，P.Convergence of Probability Measures[M].New York：Second edition，Wiley，1999.