张卫青，汤良付，郭晓东，田联明

(1.重庆理工大学 机械工程学院，机器人与智能制造技术重庆市高校重点实验室，重庆 400054；2.株洲欧格瑞传动股份有限公司，湖南 株洲 412000)

螺旋锥齿轮是机械传动系统中重要的元件，其几何形状的精度直接影响机械传动系统的平稳性、可靠性和噪声性能。相关学者对螺旋锥齿轮齿面形状的测量、反调及修形做了大量的研究。李丽霞等[1]研究了机床调整误差对弧齿锥齿轮齿面形状影响的规律。殷素峰等[2]通过齿面点离散的方法，评判机床调整参数误差对螺旋锥齿轮齿面误差的影响程度，进一步分析齿面形状变化趋势。唐进元等[3]研究了SFT(spiral format tilt)加工法加工的弧齿锥齿轮小轮齿面误差与调整参数误差之间的敏感性关系。王谦等[4]评述了弧齿锥齿轮机床调整误差的分析方法,建立了机床调整误差补偿的数学模型。徐彦伟等[5]分析了弧齿锥齿轮机床运动误差对齿面误差的影响，并通过弧齿锥齿轮齿面离散点误差计算和分析对其影响规律进行了研究。王志永等[6]分析了各种误差对螺旋锥齿轮齿形的影响规律。邢元等[7]结合螺旋锥齿轮加工特点，在欧式线性空间中建立了数控加工模型及误差补偿模型。曹康等[8]研究了弧齿锥齿轮小轮齿面误差与调整参数误差之间的敏感性关系,基于SFT加工法得出对齿面误差影响较大的调整参数,提出齿面误差最少参数修正法。郭晓东等[9-10]提出进行齿深控制的锥齿轮测量齿面切齿调整参数非线性最小二乘优化反调方法，并建立了反调优化的数学模型。以上研究主要是针对加工完成后的齿轮齿形进行测量，并通过调整参数反调地被动修正误差，并未提出齿轮几何误差的主动控制方法。除此之外，没有分析机床各轴误差对齿轮的齿厚误差的影响。针对此问题，本文建立了螺旋锥齿轮机床各轴定位误差及刀具几何误差对齿轮齿形及齿厚的关联模型，分析总结了机床误差及刀具误差对齿轮齿形及齿厚的影响规律，并根据影响规律对机床及刀具几何误差进行严格的控制，从而间接地控制齿轮的齿形及齿厚偏差，使齿轮的加工精度达到要求。

1 机床误差对齿轮几何偏差的模型

数控螺旋锥齿轮加工机床的模型如图1所示，切齿过程中摇台带动刀具的转动由2个直线联动插补实现。传统机床的水平轮位、垂直轮位、床位、径向刀位的调整也相应地被补偿到3个线性轴的运动中。机床安装根锥角表现为数控机床的B轴，传统机床的工件与产形轮的展成运动表现为全数控机床的A轴与驱动刀盘运动的2个直线轴之间的运动。这种机床不需要手动调整来保证刀具与工具的相对位置关系，但是必须进行机床的零位校正以确保机床坐标系与运动控制数学模型要求的坐标系一致。机床各轴的定位误差及刀具的几何形状偏差是影响齿轮齿厚和齿形偏差的主要因素，因此本文主要针对这两种误差进行讨论。

图1 螺旋锥齿轮铣齿机模型

螺旋锥齿轮齿面的几何形状由刀盘和齿坯之间复杂的空间相对位置和相对运动决定。螺旋锥齿轮齿面方程可以通过求产形轮齿面方程及确定产形轮与齿坯的空间相对位置和相对运动关系求得。刀盘坐标系和齿坯与刀盘位置坐标系如图2所示。∑m={om,im,jm,km}为描述切齿过程的固定坐标系，om原点在摇台轴线上，imomjm坐标平面垂直于摇台轴线，im位于摇台的水平轴截面内，km指向摇台外面；∑1={o1,i1,j1,k1}为刀转前刀盘坐标系；∑2={o2,i2,j2,k2}为刀倾前刀盘坐标系；∑t={ot,it,jt,kt}为描述刀盘(产形面)的动坐标系，ot点为刀盘中心。过图2中的ow标架∑w={ow,iw,jw,kw}为齿轮坐标系，其中点ow为齿轮轴交错点，kw在齿轮的轴线上，jw与jm同向。

图2 螺旋锥齿轮切齿计算模型

设刀尖半径误差为Δro、刀齿齿形角误差为Δα，则刀具曲面上任意一点带偏差的径矢和法矢为：

(1)

(2)

式中：ro为刀尖半径；α为刀齿齿形角；u为切齿啮合点到刀尖点沿刀刃方向的长度；θ为刀盘自转的角度；M(θ)k为旋转矩阵，±号中外刀为正、内刀为负。

设Δx,Δy,Δz分别为机床原点在X、Y、Z三个方向的定位误差，则机床原点的定位偏差径矢Δrm为

(3)

设机床安装根锥角的误差为Δγ，则带齿轮轴线的偏差径矢为

(4)

进行滚切运动时，刀盘与齿轮的相对位置通过机床调整参数确定。当摇台转动一个角度q时，摇台中心到刀盘中心的径矢Sm在切齿坐标系∑m为

(5)

式中S为径向刀位。

(6)

式中：Xp为水平轮位修正量；Xb为床位；Em为垂直轮位。

在切齿坐标系下齿轮轴交错点到刀盘中心的径矢Vl为

(7)

则齿轮轴交错点到切齿啮合点的矢量及其法矢在切齿坐标系∑m中表示为：

rm=Vl+M(q)kM(-j0)kM(i0)jrt

(8)

nm=M(q)kM(-j0)kM(i0)jnt

(9)

式中：M(q)k,M(-j0)k,M(i0)j为旋转矩阵；j0为刀转角；i0为刀倾角。

由齿轮啮合原理可知，在切齿啮合点处刀具及齿面上的点应满足啮合方程，即：

V12nm=0

(10)

(11)

(12)

式中：gl=[0,0,1]T；V12为齿面中点处被加工齿轮相对于刀具的相对运动速度。

设齿面点在齿轮轴截面内位置参数Lp和Rp，Lp为齿面中点到齿轮轴错交点沿齿轮轴线方向的距离,Rp为齿面中点的半径，则可建立如下方程组：

(13)

将式(10)(13)联立求解即可得齿面中点对应的未知变量q、θ、u,代入式(8)即可得到在切齿坐标系∑m中齿轮轴交错点到齿面中点的径矢rm和法矢nm。将其变换到齿轮坐标系∑w下，得：

(14)

(15)

e=Δrwnw

(16)

(17)

(18)

式中R为齿面中点的径向半径。

2 齿厚及齿形误差的影响规律分析

以1对4X41的高减速比的小模数螺旋锥齿轮副的小轮为例进行齿形及齿厚误差的影响分析。齿轮副的基本参数如表1所示，小轮刀具及机床调整参数如表2所示。

根据表1所述的计算方法，机床X、Y、Z轴和刀盘半径分别设置为10、20、30、40、50 μm，机床B轴和刀盘压力角分别设置为5′、10′、15′、20′、25′，各偏差分别为实例1、实例2、实例3、实例4和实例5。各实例误差对齿轮齿厚的影响如表3所示。

表1 实验齿轮副的基本参数

表2 小轮刀具及机床调整参数

参数凹面凸面刀尖直径/mm76.990 075.400 0刀齿齿形角17°20′22°40′刀尖圆角半径/mm0.180 00.180 0机床安装根锥角5°25′5°25′水平轮位/mm-0.460 00.710 0床位/mm2.030 01.920 0垂直轮位/mm16.000 017.640 0径向刀位/mm36.664 637.850 7滚比值9.984 510.662 5起始摇台角/(°)65.815 366.101 6基本摇台角/(°)93.330 484.919 8终止摇台角/(°)113.999 5108.013 4

表3 机床各轴和刀盘偏差对齿厚的影响

通过数据分析可得出如下结论：① 各误差跟齿轮齿厚偏差近似成线性关系；② 分析各误差曲线的斜率，可见机床B轴、机床X轴位置以及刀盘半径偏差对齿轮齿厚的影响较大，其影响系数分别为7.0、1.72、2.13。刀具压力角及机床Z轴误差对齿厚的影响相对较小，其系数分别为1.0、0.85。

各误差对齿轮齿形的影响如图3～8所示，通过分析可得出如下结论：① 刀盘半径误差主要引起齿轮螺旋角方向的偏差，且大小端的齿形偏差幅值相对于齿宽中部呈对称分布；刀盘齿形角误差引起压力角方向的偏差，且以齿高中部为对称轴呈对称分布。② 机床X轴原点误差会导致大端齿顶及小端齿根位置产生明显变化，即同时引起齿轮螺旋角方向和压力角方向的偏差，其中螺旋角方向的影响更为显著；机床Y轴原点位置误差主要导致大端齿根及小端齿顶位置产生明显变化，但压力角方向的影响更为显著。③ 机床Z轴原点误差以及齿根安装根锥角误差对齿形偏差的影响趋势类似，主要体现在齿轮螺旋角方向，压力角方向齿根安装根锥角引起的偏差稍大。

图3 刀盘半径误差对齿形的影响

图4 刀盘齿形角误差对齿形的影响

图5 机床X轴原点误差对齿形的影响

图6 机床Y轴原点误差对齿形的影响

图7 机床Z轴原点误差对齿形的影响

图8 机床B轴误差对齿形的影响

3 齿轮齿厚及齿形误差控制

为了使齿轮副啮合时的齿侧间隙及接触区形态得到保证，基于本文第2节所述规律，通过控制机床各坐标轴偏差及刀具几何偏差间接控制齿轮的齿厚及齿形误差。从保证侧隙的角度，应严格控制机床B轴偏差、机床X轴偏差以及刀盘半径偏差；从保证接触区形态的角度，需要对刀盘齿形角偏差、机床Y轴偏差以及机床B轴偏差进行严格控制。综合考虑齿厚及其齿形控制的需要，同时兼顾现有工艺条件下各误差因素控制的困难程度，设定机床各轴偏差及刀具几何尺寸偏差的控制公差，如表4所示。为了分析表4所述公差数据设置的合理性，将这些误差因素取正/负值组合后进行齿形偏差分析，可得其齿面中点极限齿厚偏差为21 μm，齿形偏差的极限如图9所示。可见齿形偏差的最大值控制在20 μm以内，同时齿面中部压力角方向的偏差总体不超过5 μm，即这样小齿形偏差对齿轮副的接触区形态不会造成显著的影响。

图9 齿形偏差控制范围

表4 机床各轴误差及刀盘误差的控制公差

4 齿轮加工及检测实验

为进一步验证所建立的齿形偏差的各轴控制方法的有效性，在一台4轴3联动的螺旋锥齿轮铣齿机上进行切齿实验。切齿加工前先按表4的要求进行机床各轴原点的校正及切齿刀具的定制，然后进行切齿加工，如图10所示。加工后在JD30齿轮测量中心上对样件齿形进行测量，齿面法向偏差如表5所示，可见两凹凸齿面最大法向偏差分别19.8、19.2 μm，且齿形偏差主要体现在齿长方向，而沿齿高方向的误差总体较小，齿面中部齿顶与齿根的相对误差小于6.9 μm。该测量结果与预测的齿形偏差一致，验证了齿形偏差控制方法的有效性。

图10 小轮加工过程

表5 齿面法向偏差 μm

凹面12.46.72.5-0.3-4.4-7.1-12.0-15.3-19.811.15.63.5-0.1-3.0-8.0-12.0-12.6-14.812.95.85.61.9-0.6-4.3-8.8-10.1-10.714.19.17.83.6-1.2-1.7-4.6-4.4-7.014.010.49.15.70.7-0.9-2.9-3.8-3.7

凸面19.215.47.54.60.3-8.5-7.1-16.1-16.013.212.32.74.12.0-8.4-3.3-16.7-9.715.415.83.56.01.3-7.1-5.6-13.4-7.916.116.74.05.8-6.6-4.4-2.1-11.2-7.418.716.26.65.8-4.5-3.7-7.0-9.8-13.3

将加工后的小轮与之前加工好的大轮在滚动检查机上按标准安装位置进行滚动检查实验。首先用千分表测量齿轮副的齿侧间隙值，如图11所示，实测齿侧间隙为0.092 mm,在设计要求范围以内，表明该齿轮的齿厚得到了有效控制。之后让齿轮副啮合，观察其接触印痕，如图12所示，可见凹凸两面的接触印痕均十分规整，位于齿面中部成近似矩形，说明在齿形误差得到有效控制的情况下，齿轮副的接触状态可以得到有效的保障。

图12 齿轮副啮合区

5 结束语

本文提出小模数螺旋锥齿轮几何误差的间接控制方法，并建立了机床中心位置误差及刀具几何误差对螺旋锥齿轮齿形和齿厚偏差的影响模型，总结了各误差因素的影响规律。分析表明：各误差因素与齿轮齿厚偏差近似成正线性关系，且机床安装根锥角、机床X轴位置以及刀盘半径偏差对齿轮齿厚的影响较大；机床X轴位置、刀具齿形角误差和机床安装根锥角的误差对齿形及接触区的影响较大，需进行较为严格的控制。根据以上规律对机床误差及刀具误差进行合理的主动控制，间接保证了螺旋锥齿轮的几何形状，并通过切齿实验、齿形测量和齿侧测量验证了该误差控制方法用于小模数螺旋锥齿轮的切齿加工可获得良好的效果。