严国军,贲能军,杨 彦,孙友顺,祁 淼,5

(1.盐城工业职业技术学院，江苏 盐城 224000; 2.东南大学，南京 210000；3.南京理工大学, 南京 210000；4.马恒达悦达(盐城)拖拉机有限公司，江苏 盐城 224000; 5.江苏大学，江苏 镇江 212000)

我国是农业大国，新型农业装备是实现农业现代化和全面建设小康社会目标的物质基础，作为农业机械主要动力装置的拖拉机，近年来发展迅速。2016年中央一号文件把推进农业科技创新作为一项核心工作，我国农业和农村发展将不断开创暂新局面，市场对拖拉机的需求也将不断增加。考虑到新能源车辆的发展以及国家对新能源车辆的大力扶持，纯电动拖拉机将逐渐取代传统燃油拖拉机，应用在农业的各个方面。

针对纯电动拖拉机传动系统扭转振动问题，本研究利用电机学原理从能量角度推导出电磁转矩表达式，根据机电分析动力学理论，建立纯电动拖拉机传动系统机电耦合扭转振动模型，讨论内功率因数角对机电耦合作用下传动系统固有频率的影响，利用多尺度法[7-8]求解振动方程在主共振情况下的一次近似解，求解传动系统频率响应方程，并对解的稳定性进行分析，研究电机参数对传动系统扭转振动特性的影响。

1 机电耦合扭转振动模型

1.1 电机模型的建立

为了简化分析，在推导永磁同步电机电磁转矩模型之前，进行如下假设：① 绕组中电流随时间按余弦规律变化，绕组星形连接；② 转子呈圆柱形，气隙均匀；③ 旋转气隙磁场忽略谐波影响；④ 不考虑电机损耗。

考虑电机扭振角为φ时对磁动势的影响，根据电机学理论，定转子合成基波磁动势可表示为

F(α,t)=Fsmcos(ωt-α)+Frmcos(ωt-α+

(1)

式中：Fsm为定子磁动势的基波幅值，Fsm=1.35NImkN1/p；N为每相串联绕组匝数；Im为电流有效值；p为电机的极对数；kN1为基波磁动势的绕组系数；ω为电机电角频率；Frm为转子磁动势的基波幅值，Frm=4Brhmsin(αpπ/2)/π/μ0；Br为永磁材料剩磁；hm为永磁体厚度；αp为永磁体极弧系数；μ0为空气磁导系数，μ0=4π×10-7。

由于电机一般运行于磁饱和区域，考虑到磁饱和因素，永磁同步电机气隙磁导可表示为

(2)

式中：kμ为磁路饱和系数；δ0为均匀气隙大小。则永磁同步电机的气隙磁场能量为

(3)

式中：R为定子内圆半径；l为转子有效长度。

当转子扭振角为φ时，电磁转矩为

Fm[sinψsin(pφ)-cosψcos(pφ)]

(4)

其中Fm=pπRlΛ0FsmFrm。

Te=k0+k1φ-k2φ2-k3φ3

(5)

其中：k0=-Fmcosψ；k1=pFmsinψ；k2=-p2Fm/2cosψ；k3=p3Fm/6sinψ。

1.2 传动系统扭转振动模型

建立如图1所示的电机-机械二质体传动模型[9]，对纯电动拖拉机传动系统机电耦合扭转振动特性进行分析。图中：C为扭转阻尼；K为扭转刚度；J1和J2分别为电机与机械转子的转动惯量；φ1和φ2分别为电机与机械转子的转角；Te为电磁转矩；TL为负载转矩。令

Te=Te0+ΔTe,TL=TL0+ΔTL

(6)

其中：Te0和TL0分别为电磁转矩和负载转矩中的恒定部分；ΔTe0和ΔTL0分别为电磁转矩和负载转矩中的扰动成分。假设φ10和φ20分别为恒定力矩Te0和TL0作用下的传动系统转轴两端的扭转角，φ1和φ2分别为转轴两端的扭振角，不难得出：

(7)

图1 电机-机械耦合传动系统

根据牛顿定律，传动系统扭振动力学方程为：

(8)

当系统在恒定转矩下运行时，有φ1=φ2=0，将该式代入式(8)可得：

KΔφ=Te0-TL0

(9)

由推导的电磁转矩模型式(5)可知电磁转矩扰动项为ΔTe=k1φ-k2φ2-k3φ3，假设负载扰动力矩为ΔTL=Fcosωt，将式(9)代入式(8)中，整理得到传动系统在电磁转矩扰动项ΔTe0和负载转矩扰动项ΔTL0下的等效非线性动力学方程为：

(10)

(11)

(12)

1.3 固有频率分析

在本研究计算中，若无特殊说明，纯电动拖拉机各参数取值如表1所示。

表1 传动系统主要参数

根据式(12)得到机电耦合作用时传动系统扭转振动系统的固有频率为

(13)

根据电机理论，当ψ<0时，电流滞后于空载反电动势，直轴电枢反应为增磁作用；当ψ>0时，电流超前于空载反电动势，直轴电枢反应为去磁作用。车用永磁同步电机具有宽传动范围和高功率密度的要求，车用永磁同步电机设计与弱磁空间，电机采用弱磁控制，因此车用永磁同步电机运行时内功率因数角ψ>0。

图2反映机电耦合作用前后系统固有频率之比η/ω0在内功率因数角ψ>0时的情况。由图2可以看出:η/ω0在内功率因数角0<ψ<π/2时随着ψ的增大而减小，在内功率因数角π/2<ψ<π时随着ψ的增大而增大;在ψ=π/2处降幅达到最大，高达35%。

可以看出:当ψ>0时，机电耦合作用前后固有频率之比η/ω0<1，传动系统表现为软特性。在机电耦合作用下，对于某些过载情况，固有频率的降幅可达35%;内功率因数角是影响传动系统扭转振动固有频率的重要因素，因此在进行车用永磁同步电机的设计与控制时需要考虑内功率因数角的影响，合理控制内功率因数角的范围。

图2 内功率因数角ψ对频率比值η/ω0的影响

2 机电耦合扭转主共振分析

2.1 主共振非线性方程求解

采用多尺度法研究传动系统在激励作用下的受迫主共振问题。所谓主共振是指外界激励频率ω接近派生系统固有频率η时的共振[10]。若系统为阻尼系统，则很小的激励幅值f就会激发强烈的共振。因此，对阻尼项、电磁力矩、参数激发项前冠以ε加以限制。外界激励频率ω表示为

ω=η+εσ

(14)

式中σ称作激励频率失调参数，表示ω与η的接近程度。则传动系统非线性动力学方程表示为

(15)

研究解的一次近似解时只要用2个时间尺度，因此设

x(t)=x0(T0,T1)+εx1(T0,T1)

(16)

将式(16)代入方程(15)并利用导算子表达式，比较ε同次幂后得到1组线性偏微分方程：

(17)

(18)

式(17)的解为

x(t)=A(T1)ejηT0+cc

(19)

其中cc表示前面项的共轭复数，

(20)

式中a，ζ均为T1的实函数。

将式(19)代入式(18)中，得到消除永年项的条件：

(21)

将式(20)代入方程(21)，分离实部和虚部得到：

(22)

引入θ=σT1-ζ，方程(22)可以转化为自治微分方程：

(23)

相应的一次近似解为

x(t)=a(T1)cos[ωt-φ(T1)]

(24)

2.2 主共振解的幅频响应分析

为确定对应稳态运动的定常解的振幅ɑ和相位φ，令式(23)中D1a=0，D1θ=0，得到振幅ɑ和θ满足的代数方程为：

(25)

两式平方后相加消去θ，化简后得系统幅频响应方程为：

(26)

对于0

(27)

3 主共振幅频数值仿真分析

根据方程(27)可以分析纯电动拖拉机传动系统主共振的幅频曲线。按照已给出的参数及相应公式，分别研究内功率因数角ψ、定子电枢绕组安匝数NI、极对数p、磁饱和系数kμ等对机电耦合传动系统扭转特性的影响。

本研究分别选取ψ=0、π/4、π/2等3种情况对机电耦合传动系统扭转特性的影响进行分析。由图3可知：当ψ=0时，响应曲线对称，共振频率控制在很窄的频带内，为线性受迫振动；当ψ>0时，幅频曲线骨架线向右弯曲，为非线性受迫振动。随着ψ的增大，骨架线弯曲程度增加且向左移动，且振幅也随之增大。此外还可以发现：随着内功率因数角的增加，响应曲线向右弯曲的幅度增加，使得共振区与不稳定区域增加，这很容易使得纯电动拖拉机传动系统在正常运行时发生共振。

解的多值性是机电耦合非线性振动的一个重要特征[11]。以内功率因数角ψ=π/2为例。如图3所示，当激励频率ω<0.75时，纯电动拖拉机传动系统幅值响应只有一个值[12-13]，但随着激励频率的增大ω>0.75时，传动系统幅值响应具有3个值，根据主共振幅频响应曲线特性可以知道其中2个值是稳定的，1个是不稳定的，因此传动系统很容易在该激励频率范围内发生幅值跳跃与分岔。图4中曲线Line箭头指示的路径为对系统稳定运动的跟踪，可以发现产生跳跃现象。随着激励频率的增大，响应曲线路径为A→B→C，当达到幅频响应曲线峰值点C时，随着激励频率的进一步减小，发生幅值从C→D的跳跃；当激励频率减小时，响应曲线路径为D→E→F，当到达临界鞍点F时，随着激励频率的进一步减小，发生幅值从F→B的跳跃。内功率因数角是影响传动系统扭转振动的一个重要因素，它的增大极易使系统进入共振区域，发生鞍结分岔与幅值跳跃现象，使纯电动拖拉机传动部件发生疲劳损害，减小传动部件的寿命，引发事故。

图3 内功率因数角ψ对主共振幅频响应的影响

安匝数是电机设计时的一个重要参数，本研究分别选取NI=1.2×105、0.8×105、0.4×105等3组数据分别进行分析。由图4可知：绕组的安匝数越少，响应曲线弯曲程度越小，当NI=0.4×105时，响应曲线几乎对称，共振频率区域很窄，近似于线性受迫振动，但是随着安匝数的增加，响应曲线开始弯曲，并向左边移动，此时为非线性受迫振动。随着安匝数的增加，响应曲线的弯曲程度也随之增加，响应幅值增大，使得共振区与不稳定区域增加，这使得系统进入共振区域的几率增加，容易发生鞍结分岔与幅值跳跃现象。因此，在电机设计时应合理减小安匝数，避免传动系统发生共振。

图4 绕组安匝数NI对主共振幅频响应的影响

本研究分别选取p=1、2、3等3种情况进行分析。由图5可知：当p=1时，响应曲线接近于对称，几乎没有不稳定区域的存在，当极对数增加时，共振幅值增加，响应曲线迅速向右弯曲，且弯曲程度越来越大，这就造成传动系统共振区与不稳定区域增加，使得系统进入共振区域的几率增加，容易发生鞍结分岔与幅值跳跃现象。而且对于车用永磁同步电机，转速要求较高，一般采用较高的极对数[14]，这对机电耦合传动系统的稳定运行是不利的，因此，在电机设计时应考虑极对数对传动系统扭转振动的影响，避免发生共振。

图5 极对数p对主共振幅频响应的影响

本研究分别取kμ=1.4、1.5、1.7时进行比较分析。由图6可知：与其他电机参数情况相反，随着饱和系数的增大，响应曲线幅值不断减小，且响应曲线的弯曲程度也在不断减小，这就导致传动系统的共振区与不稳定区缩小，减小传动系统正常运行时进入共振区域的概率，有利于保护传动系统零部件受损，避免其使用寿命缩短。因此在电机设计时，可以适当增大磁饱和系数，这有利于机电耦合传动系统的稳定运行。

图6 磁饱和系数kμ对主共振幅频响应的影响

4 结束语

本研究通过推导电磁力矩的解析方程式，建立永磁同步电机驱动的纯电动拖拉机传动系统机电耦合扭振模型，在此基础上研究内功率因数角对传动系统固有频率的影响，并分析电机参数对系统扭振特性的影响。内功率因数角是影响纯电动拖拉机传动系统扭振固有频率的主要参数，当ψ>0时，传动系统扭转振动固有频率下降，容易使得固有频率进入电机正常工作范围，而且考虑到车用永磁同步电机的设计与控制都处于弱磁，因此在永磁同步电机设计与控制时须要合理控制其大小。本研究分别分析4种电机参数对纯电动拖拉机传动系统主共振的影响。可以看出：如果内功率因数角从0增大到π/2，安匝数从0.4×105增大到1.2×105，极对数从1增大到3、磁饱和系数从1.7减小到1.4，这些电磁参数的改变导致传动系统系统共振以及不稳定区域的增大，传动系统可能会出现鞍结分岔及跳跃等现象，对传动部件造成疲劳损害，这对传动系统稳定运行是不利的。因此，在电机设计时要合理控制电机参数的大小。