黄丹芸

( 1.泉州师范学院 数学与计算机科学学院； 2.福建省大数据管理新技术与知识工程重点实验室；3.智能计算与信息处理福建省高等学校重点实验室: 福建 泉州 362000 )

0 引言

具有良好相关特性的三元序列偶被广泛地应用于通信、雷达等系统中.在对三元序列偶的相关研究中，学者们根据序列偶相关函数值的不同，提出了最佳三元序列偶[1-2]、伪随机三元序列偶[3]、准最佳三进阵列偶[4]、三值自相关三元序列偶[5-7]等.针对三值自相关三元序列偶的研究和构造，彭秀平等[6]利用二阶、四阶和六阶分圆数方法构造了一种特殊的三值自相关三元序列偶——三值自相关几乎二元序列偶；贾彦国等[7]利用四阶分圆类构造了三值自相关三元序列偶，所得到的三元序列偶都具有良好的相关特性.基于上述研究，本文利用2阶Whiteman广义分圆类构造N=pq的三值自相关三元序列偶，并得到4类具有良好相关特性的三值自相关三元序列偶.

1 预备知识

定义1[7]令{x(t)}和{y(t)}是两个周期为N的三元(-1,1,0)序列，定义序列偶(x,y)的循环相关函数为

下面给出Whiteman广义分圆类的相关概念及一些性质.

引理1[8]108设N=pq， 其中p和q为不同的奇素数，令g是GF(p)和GF(q)的一个公共原根，e为p-1和q-1的最大公因数，记(p-1)(q-1)=de.令x为满足下列同余方程组的整数解：

gsxl+1=gtxm(modN)

的解s,t(0≤s,t≤d-1)的个数,即(l,m)=|(Cl+1)∩Cm|, 则称(l,m)为e阶分圆数.

定义Q={q,2q,…,(p-1)q}，P={p,2p,…,(q-1)p}，R={0}.记p-1=ef，q-1=ef′， 则(f,f′)=1.

引理5[9]1700当|p-q|/2是奇数时，-1∈C1； 当|p-q|/2是偶数时，-1∈C0.

由引理6和引理7容易证得引理8.

引理9[8]113设τ是一个能被p整除但不是能被q整除的整数，则

2 主要结果及其证明

定理1设N=pq， 其中p=2f+1,q=2f′+1为不同的奇素数， gcd(p-1,q-1)=2.令

1) 当ff′为偶数，q=p-2时，序列偶(x,y)构成三值自相关三元序列偶，其相关函数值的分布为

2) 当ff′为偶数，q=p+6时，序列偶(x,y)构成三值自相关三元序列偶，其相关函数值的分布为

3) 当ff′为奇数，q=p+4时，序列偶(x,y)构成三值自相关三元序列偶，其相关函数值的分布为

证明根据序列偶的定义，序列偶(x,y)的相关函数

R(x,y)(τ)=|{t:t∈C0,t+τ∈C0}|+|{t:t∈C0,t+τ∈P}|+|{t:t∈C1,t+τ∈R}|+

|{t:t∈Q,t+τ∈R}|+|{t:t∈P,t+τ∈C0}|+|{t:t∈P,t+τ∈P}|+

|{t:t∈R,t+τ∈C0}|+|{t:t∈R,t+τ∈P}|-|{t:t∈C0,t+τ∈R}|-

|{t:t∈C1,t+τ∈C0}|-|{t:t∈C1,t+τ∈P}|-|{t:t∈Q,t+τ∈C0}|-

|{t:t∈Q,t+τ∈P}|-|{t:t∈P,t+τ∈R}|-|{t:t∈R,t+τ∈R}|=

|(C0+τ)∩C0|+|(C0+τ)∩P|+|(C1+τ)∩R|+|(Q+τ)∩R|+

|(P+τ)∩C0|+|(P+τ)∩P| +|(R+τ)∩C0|+|(R+τ)∩P|-

|(C0+τ)∩R|-|(C1+τ)∩C0|-|(C1+τ)∩P|-|(Q+τ)∩C0|-

|(Q+τ)∩P|-|(P+τ)∩R|-|(R+τ)∩R| .

当τ=0时，容易得到序列偶的峰值为

当τ≠0时，由引理1—引理10可得：

由以上分析可知Δ0≠Δ1， 若序列偶(x,y)要构成三值自相关三元序列偶，则需要满足Δ0=Δ2=1或Δ1=Δ2=1.

当τ∈Q时，Δ′2=R(x,y)(τ)=Δ2=1；

当τ∈P时，Δ′3=R(x,y)(τ)=Δ3=-p+q-1.

注意到Δ′0≠Δ′1， 若序列偶(x,y)要构成三值自相关三元序列偶，则Δ′0=Δ′2=1或Δ′1=Δ′2=1.

若Δ′0=1， 则q=p+4.此时Δ′1=Δ′3=3， 序列偶(x,y)构成三值自相关三元序列偶，其相关函数值的分布为

若Δ′1=1， 则q=p， 这与p和q为不同的奇素数矛盾，舍去.证毕.

算例1令p=5,q=3， 则N=15.取g=2为GF(5)和GF(3)的公共原根，取x=7， 则C0={1,2,4,8}，C1={7,14,13,11}，P={5,10}，Q={3,6,9,12}.由定理1，可以构造出一个三值自相关三元序列偶(x,y)， 其中x=(-1,-1,-1,1,-1,-1,1,1,-1,1,-1,1,1,1,1),y=(1,-1,-1,0,-1,-1,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0)， 其相应的自相关函数为

通过类似定理1的证明，可得到如下定理2 —定理4.

定理2设N=pq， 其中p=2f+1,q=2f′+1为不同的奇素数， gcd(p-1,q-1)=2.令

1) 当ff′为偶数，q=p+2时，序列偶(x,y)构成三值自相关三元序列偶，其相关函数值的分布为

2) 当ff′为偶数，q=p+6时，序列偶(x,y)构成三值自相关三元序列偶，其相关函数值的分布为

3) 当ff′为奇数，q=p+8时，序列偶(x,y)构成三值自相关三元序列偶，其相关函数值的分布为

算例2令p=3,q=11， 则N=33.取g=2为GF(3)和GF(11)的公共原根，取x=23， 则C0={1,2,4,8,16,32,31,29,25,17}，C1={23,13,26,19,5,10,20,7,14,28}，P={3,6,9,12,15,18,21,24,27,30}，Q={11,22}.由定理2可以构造出一个三值自相关三元序列偶(x,y)， 其中x=(1,-1,-1,-1,-1,1,-1,1,-1,-1,1,1,-1,1,1,-1,-1,-1,-1,1,1,-1,1,1,-1,-1,1,-1,1,-1,-1,-1,-1),y=(1,-1,-1,-1,-1,0,-1,0,-1,-1,0,0,-1,0,0,-1,-1,-1,-1,0,0,-1,0,0,-1,-1,0,-1,0,-1,-1,-1,-1)， 其相应的自相关函数为

定理3设N=pq， 其中p=2f+1,q=2f′+1为不同的奇素数， gcd(p-1,q-1)=2.令

当ff′为偶数，q=p+6时，序列偶(x,y)构成三值自相关三元序列偶，其相关函数值的分布为

定理4设N=pq， 其中p=2f+1,q=2f′+1为不同的奇素数， gcd(p-1,q-1)=2.令

当ff′为偶数，q=p+2时，序列偶(x,y)构成三值自相关三元序列偶，其相关函数值的分布为