周小青

【摘要】抽象是形成概念的必要手段.本研究以“植树问题”为案例，借助几何直观帮助学生完成从几何直观到数学抽象的转化，经历了借助直观，积累经验;语言表述，形成表象;建立模型，进行抽象;练习应用，提升思维的过程.

【关键词】几何直观;四大策略;转化途径

【基金项目】本文系吉林省发改委项目认知诊断模型构建、软件开发与推广和吉林省教育厅“十三五”社会科学研究课题JJKH20180044SK的研究成果之一.

抽象是从许多事物中舍弃个别的、非本质属性得到共同的、本质属性的思维过程，是形成概念的必要手段.[1]抽象是数学的本质，而小学生的思维特点是以具体形象思维为主的，本研究以“植树问题”为案例，借助几何直观帮助学生完成从几何直观到数学抽象的转化.

一、借助直观 积累经验

最初的抽象都是基于直观的.植树问题是较为抽象的关于两端都栽、只栽一端和两端都不栽的棵数、间隔数的关系.例题：要在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵.一共要准备多少棵树？这里学生必须先理解间隔数即长度和每两棵树之间距离的关系，以及棵树、间隔数之间的关系，这对四年级学生来说是有一定难度的.学生要完成从抽象的文字理解到用符号表达建立模型（算式），需要经历还原成直观表达——语言表达——符号表达一步步的抽象思维过程.这里有两个层次：一是先解决学生对间隔数的认识，二是间隔数与棵数之间的关系.教师通过实物图（两棵树之间的距离）让学生理解间隔数，进而借助图示可以把线段图中的点（棵数）——线（间隔数）建立起一一对应的关系，化抽象为直观的表达.整个学习过程中，学生不断画线段图、反复观察线段图，经历从解读实物图到画出线段图的过程，积累了丰富的感性活动经验，丰富了学生的表象.为后面的抽象做了铺垫.

二、语言表征 形成表象

语言是思维的载体，也是数学的一种表达方式.通过具体的图示，教师让学生用语言把这间隔数与棵数之间的关系表达出来，利用语言内化为自己的理解，学生可边指着图示，边语言表达：两端都栽，间隔数4个，而棵树有5棵，因为最后一棵没有找到间隔数与它对应;只栽一端，间隔数与棵树相等，刚好可以找到一一对应;只栽一端，棵数比间隔数少了1个.让学生用语言表达出图示表示的内容，往往要借助动作，比如，间隔数指的是哪部分？棵数又指的是哪部分？这样才能真正把语言与图示建立起进一步的联系.这是学生内化的重要阶段，教师可通过学生个人说，同桌互相说等方式.在说的基础上进一步建立表象，教师让学生闭上眼睛，想象每种情况及对应的线段图，想象出棵树（为什么多1，相等或者少1）的情境，在脑海中借助一一对应形成清晰的表象.

三、建立模型 进行抽象

符号是数学的语言，数学符号是数学抽象物的表现形式，是对现实世界数量关系的反映，是数学存在的具体化身[2].由几何直观到语言表达，逐渐揭示了事物之间内在的本质关系.通过让学生列式，并说说为什么这么列式.在此基础上利用数形结合、利用手势引导学生说出每个列出算式的意思及依据，进而总结出公式来.片段如下：同学们，我们发现了植树问题有三种不同的情况，在解决这三种植树问题的过程中，有什么异同点吗？

相同点：都和间隔数有关.

——在算式中哪里体现呢？教师在20÷5下面画出一条线，都表示求间隔数.

——都可以利用一一对应来帮助理解间隔数与棵数之间的关系.

不同点：两端要栽，棵树比间隔数多了1个;只栽一端，间隔数=棵数;两端不栽，棵数比间隔数少了1个.刚才同学们猜测的不同答案，你现在有什么想说的吗？

——不同的栽树情况，就会有不同的间隔数，因此，我们在解答这类题目时很重要的要先判断是怎么“栽树”的.现在你能整理出这道题这三种栽树的算式了吗？这样的学习过程让所有的同学在探究与交流中真正理解了算式（符号）的意思，建立起本课学习中最为重要的关系：

通过比较，凸显本质，进而建立起模型（公式），促进抽象思维的形成.

四、变式应用 提升思维

从抽象的深度来讲，还需从具体的模型中解释具体的事物，即应用所学的知识灵活解决相关的生活问题.

教师让学生找到生活中哪些类似于植树问题.学生找到了挂灯籠问题、爬楼梯问题、锯木头等.学会利用所学的知识解决生活中的数学问题.

变式：1.说出下面各题中的“间隔数”与“棵数”：出示课件（挂灯笼、锯木头、教学楼下的柱子与间隔）

2.工人们正在架设电线杆，相邻两根间的距离是200 m.在总长3000 m的马路上，一共要架设多少根电线杆（两端都架设）？

3.马路一边栽了25棵梧桐树.如果每两棵梧桐树中间栽一棵银杏树，一共要栽多少棵银杏树？教师通过基本题、提高题来不断促进学生把生活问题与上述学过的棵数、间隔数利用判断建立起联系，从而由抽象的关系去解释具体的生活问题，把抽象思维提升到另一个高度.

“植树问题”的本质就是对应问题，只要明确了“间隔”与“棵数”这两者之间的对应关系，突出“一一对应”的思想，再以此为基础并通过适当变化就可以应对各种相关的数学问题.

史宁中教授曾说过：“人的基本思维能力就是想象能力和抽象能力，人的其他的思维能力就是它们派生的.”[3]他认为，数学抽象的内容在本质上只有两种：一是数量与数量关系的抽象.二是图形与图形关系的抽象.对学生的数学学习而言，直观是为了形成学生的生动表象并借以形成概念、发展规律，教师要重视让学生经历由直观到抽象的过程并给予恰当的指导，促进学生抽象思维的发展.

【参考文献】

[1]史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2016.

[2]徐利治.徐利治读数学方法论[M].大连：大连理工大学出版社，2008.

[3]史宁中.试论教育的本原[J].教育研究，2009（8）：3-10.

[4]秦德生.美国中小学“估算”课程设计及其启示[J].外国中小学教育，2013（12）：50-54.