唐振宇

【摘要】：如何让初中学生感知到数学分析是一个清晰可靠的研究过程，而非不断纠错和试验的结果.体会到方法的运用是由于问题本身规律的必然，而非偶然所得.数学模型的运用能很好地解决这些问题.数学模型思想既符合数学基本思想，同时也是课程标准倡导的核心素养.

【关键词】数学模型;解决问题;模型准备;模型假设;模型构成

具有了数学模型思想，容易发现事物的本质和发展规律，从而更容易找到最合理的解决问题的方法.

一、生活中的“模型”启迪

“司马光砸缸”是青少年熟悉的故事.这个事件中，安全模式是人水分离.解决的方法有：人离开水或水离开人.睿智的司马光让水离开了人.发现解决问题的模式，找到合理的解决问题的方法，正是值得学习的地方.

实际生活中还有哪些生活情境也契合这种模式呢？让我们类比普通和野生动物园.这个问题中安全模式也是人和动物分离.所以做法也有两个：把动物关进笼子是普通动物园;把人关进笼子（车子）就是野生动物园.

如果用数学的眼光来看这些能从中学习到什么呢？由问题本身规律产生解决问题的模式，结合已有条件找到正确解决问题的方法.笔者结合初中教学对此进行探究

二、教材中的“模型”探究

1.解决问题之前先要思考问题本身所产生的模式，这是初中数学课堂教学中引导学生思考的一个很重要的意识培养.也符合数学基本思想之一模型思想的要求.

苏科版八年级（上）第六章“一次函数”的“一次函数的图像”的内容谈到直线的平移.一般就讲上下移而不讨论左右移.同时在处理直线上下移动时会让学生作为一个公式记下，而忽略了问题本身的模型引导.确定一条直线模式常见的是：两点确定一条直线.也可以引导学生探究另一种模式：过一点有无数条直线，过一定点并且方向确定的直线就只有一条.确定直线的模式还有点加方向.这样在课堂上学生研究问题的方法就会多样，数学就会变得更有趣.

例如，把函数y=2x的图像分别向上、向下平移3个单位长度能得到什么函数的图像？分别向左、向右平移又能得到什么样的函数图像？若让学生当公式来记，向上平移得到函数y=2x+3的图像，向下平移得到函数y=2x-3的图像.那么学生在认知问题和解决问题层面就比较肤浅.对左右平移的问题很难解决.

如果学生已经认知到确定直线的模式还可以是点加方向（因为平移方向不变）.可以把平移后的直线都看作是 y=2x+b.只要得到平移后的点的坐标，就可以得到函数表达式了.当然这个点的坐标越简单得到就越好.容易发现函数y=2x经过点（0，0）向上下左右平移3个单位分别是（0，3），（0，-3），（-3，0），（3，0）.这样把平移后点的坐标分别代入函数y=2x+b表达式，就能分别求出b的值，从而得到函数y=2x的图像向上、下、左、右平移3个单位得到的分别是函数y=2x+3，y=2x-3，y=2x+6，y=2x-6的图像.在通过形上的观察、数上的分析还能发现上下平移和左右平移还能互相转化.

2.这个问题也能引导学生换个模式思考，能否根据两点确定一条直线的模式来解决平移问题？在小结时也能引导学生发现，要确定一次函数y=kx+b的表达式要两个条件，一般要得到两个点的坐标.这也印证了两点确定一条直线的合理性.当表达式确定时，会發现K的值和b的值也就确定了.而K决定函数图像的方向，b的值决定函数图像与y轴的交点位置，就也就说明点加方向的合理性，同时这两个确定直线的模式是可以融会贯通的.

例如，（2017年南京数学卷）如图所示，已知点P为∠ABC内一点，利用直尺和圆规确定一条过点P的直线，分别交AB，BC于点E，F，使得BE=BF.（不写作法，保留作图痕迹）

这题有很多种解法.如果能回到问题的本源，让学生考虑下这类问题的常规模式，学生解决问题的能力会有较大的提升.

“问题情境”：作一条直线.

“建立模型”：（1）两点确定一条直线;（2）点加方向确定一条直线.

“求解验证”：由已知的模型就能发现，条件中已经有了一个已知点P，所解决问题的关键就是能在满足条件的情况下再找到另一个点或是能过点P确定方向.

由此发现，培养学生的数学模型思想，可以让学生有明确的目的去研究问题.如果学生经常处于一种盲目的探索，那在这过程中会充满着焦虑和怀疑.这些情绪对初中学生数学学习是不利的，它会加大学生对数学的恐惧感和畏难情绪.在盲目探索下即使一时解决了问题，那也如袋中摸球游戏，最多培养学生的解题经验，而不能上升为解决问题的能力，更不能培养学生数学思想，以数学眼光和视角去看待世界，解决问题.

三、教学中的“建模”研究

一般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类：一是机理分析方法，一是测试分析方法.机理分析是根据对问题对象特性的认知、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律.测试分析是由于问题的内部机理无法直接获知，可以通过测量计算获取输入和输出的数据，运用统计分析的方法按照事先确定好的准则，找出一个和数据拟合最好的模型.将这两种模型结合也是常用的建模方式，用机理分析建立模型，用测试分析来验证.

针对初中生的模型思想的培养主要是机理分析方法.数学建模是一个复杂的过程，在初中课堂没有必要过高地去培养学生数学建模的能力，所以如何把握好尺度，既让学生感知到数学模型思想的优点，又能让学生易于接受，值得研究.

针对这个问题，笔者把建模过程在课堂上简化为三个步骤：有什么？求什么？怎么求？

1.“有什么”是指分析条件.要求学生能对所给出的具体条件加以分析，并能对若干条件的组合加以分析.从而一步步了解问题的实际背景，为“模型准备”做好基础.

2.“求什么”是指研究问题.要求学生根据以往的学习经验，对所求问题的特性较全面的认知，分析其因果关系，找到问题成立的一般规律.为“模型假设”做好准备.

3.“怎么求”是指建立模式.要求学生能在分析条件所得到的“因”与解决问题的“果”加强双向交流，分析和反思并用.找到“因”到“果”的那座桥梁，从而找到解决问题的模式.为合理地“模型构成”做好最关键的一步.

例如，（2018年南京市中考题）如图所示，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD.求证：（1）∠BOD=∠C;（2）四边形OBCD是菱形.

分析建模过程：

1.“有什么”（模型准备）：由OA=OB=OD的条件，可得到：① 在直线形可以得到等边对等角;② 解构图形直接获取∠BOD=∠ABO+∠BAD+∠ADO;③ 在曲线形可以想到一中同长的圆.

2.“求什么”（模型假设）：对∠BOD=∠C这样的问题学生会有什么想法呢？学生会寻求什么样的原因，而能让∠BOD=∠C这样的结果成立？比较容易想到的是：① 全等三角形对应角相等;② 角之间的转化.

3.“怎么求”（模型构成）：模型假设中的全等能结合条件简单的解决吗？当这种想法和题目所给出的条件进行双向交流时，就会发现全等的想法不符合实际情境.那角之间的转化可行吗？条件中有∠C=2∠BAD，所以只要能解决∠BOD=2∠BAD，就能最终解决问题.而在条件分析的过程中也为这种想法做好了准备.很多学生甚至能通过对图形分析从中获取基本图形模式∠BOD=∠ABO+∠BAD+∠ADO.同样也可通过建构圆的方法，让圆心角∠BOD是圆周角∠BAD的两倍.由此发现在“有什么”和“求什么”之间多相互交流，才有可能获得合理的数学模型.

通过上述例子可以发现，对条件的分析而进行的“模型准备”，由问题寻因而进行的“模型假设”.从两个方面让想法不断相互交流、互动，就能较容易形成合理的“模型构成”.这样的分析过程能更全面的感知问题，从而更合理地形成解决问题的思路.

三、結 语

数学是门实践性思维性很强的学科，要有较强的解决问题的能力.所以在平时教学中不仅仅是积累初中学生的解题经验，从表象上去强化学生对知识记忆和问题的认知，更要注重学生模型思想的培养，这样让学生既在做法上有创新意识，又能领会到做法后事物的规律和模型的引领，从而提升学生解决问题的能力.而寻求感知到事物内部的发展规律从而获取解决问题的思维模型，这就是数学的核心素养.

【参考文献】

[1]季勇.一道中考数学模型的建模过程[J].中学数学研究（华南师范大学版），2014（10）：45-46.

[2]吴伟萍.浅析数学建模中创新意识培养[J].时代教育，2015（17）：221.