【摘要】本文主要从研究背景、研究方法和研究现状三方面介绍了对椭圆形偏微分方程解水平集的凸性研究.从微观方法和宏观方法的角度介绍，微观方法是对满足一定条件的偏微分方程在局部建立常秩定理，利用强极值原理结合连续性方法得到解的整体凸性;宏观方法是利用弱极值原理证明解和解的凸包络在满足一定的结构条件下是相等的.对微分方程凸性的研究分为解本身的凸性研究和解的水平集的凸性研究，而解的水平集的凸性研究通常源自解的凸性，因此，解决解的水平集的凸性问题是更细致的问题.

【关键词】椭圆形偏微分方程;凸性研究;极值原理

【基金项目】北京电子科技职业学院校内科技重点课题“有关一类椭圆偏微分方程解的微分不等式”（项目编号：000024-2018Z002-022-KXZ）.

一、研究背景

凸性研究是几何研究的一项重要内容，作为一种几何概念，在光滑情况下通过微分来描述，并且学者们对凸性的研究历史悠久.椭圆形偏微分方程是一类非常重要的偏微分方程，它的解和解的水平集的凸性研究更是现代偏微分方程研究领域的一个关键内容.通过研究，人们逐渐发现方程解的存在和光滑性与解的凸性有很大关系，若方程的解本身就是凸的，那么其解的水平集也是凸的，证明解本身的某种凸性可以看成是证明解水平集凸性的一种间接方法.

在20世纪20年代，Caratheodory在平面凸区域上研究格林函数，得到了它的水平集是严格凸的.

1957年，Gabriel证明了在3维及n维凸区域中，算子-Δ 所对应的格林函数具有严格凸的水平集.其主要方法是引进一个“凹性函数”：

若u的水平集是凸的，則u的水平集的第二基本形式在整个区域内是常秩的.

2008—2010年，证明了一些低维Hessian方程的常秩定理，2011年，Chen、Ma和Shi研究了Monge-Ampère方程的解的水平集的曲率估计，对满足齐次Dirichet边值条件的方程

detD2u=1 in Ω，u=0 on Ω.

构造辅助函数H，由u的水平集的曲率κ和|Du|3产生，证明其在边界处达到下界，然后应用极值原理得到对水平集的平均曲率和Gaussie曲率和的上界估计.

2015年，针对完全非线性的椭圆形Monge-Ampère方程detD2u=1，笔者对其在常曲率黎曼流形上有界凸区域中带有0边值Dirichlet条件下的严格凸解的水平集的凸性估计进行了研究.

上述对椭圆偏微分方程解的水平集的凸性研究背景，为我们今后继续探讨研究椭圆偏微分方程解的水平集的凸性奠定了坚实的基础.

二、研究方法

通过对文献的阅读，我们知道研究椭圆偏微分方程解的水平集凸性方法很多.主要有解的凸性、常秩定理、凹性极值原理、拟凹包络和曲率估计，我们把这些方法分为宏观和微观方法两类.宏观方法是利用弱极值原理研究解和解的凸包络之间的关系，即在满足一定的结构条件下利用弱极值原理证明解和解的凸包络是相等的.而微观方法则是利用强极值原理对满足一定条件的偏微分方程在局部建立常秩定理结合连续性方法得到解的整体凸性.本文主要谈及常秩定理和凹性极值原理.

常秩定理在得到解的水平集的凸性的同时可得到严格凸性，是一个强极值原理.我们考虑偏微分方程的解u的一个半正定矩阵w=（wij）n×n，wij=wij（D2u，Du，u，x）满足：（1）（wij）≥0;（2）可以选取适当的坐标系使得（wij）对角或部分对角;（3）wij∈C1，1（Ω）.假设l=minx∈Ωrank（w（x））在点x0∈Ω达到，选取恰当的辅助函数φ，然后证明其中Ω0是x0点在Ω内的一个小邻域.利用强极值原理和连续性方法可以得到φ（x）≡0 in Ω，进而得到φ在Ω上保持常秩.

Gabriel提出的凹性极值原理属于宏观方法，使用此方法来描述凸性不需要对象是光滑的，是一种弱极值原理.函数u为上半连续函数，用u*表示u的拟凹包络，拟凹包络u*是其上水平集为u的闭凸包的上半连续函数.由于u*是比u大的最小的上半连续拟凹函数，从而有u*≥u.只要证明u*

三、研究现状与展望

关于Laplace算子的线性和半线性方程，p-Laplace算子的拟线性方程和平均曲率方程，这些方程解的水平集的曲率估计研究已经有了很好的结论，而对完全非线性方程，如Monge-Ampère方程，只有近两年一些学者对主曲率的研究.

笔者已经针对完全非线性的有界凸区域上带有0边值Dirichlet条件的Monge-Ampère方程解的水平集的凸性进行研究，接下来主要考虑在将有界凸区域上带有0边值Dirichlet条件的Monge-Ampère这类完全非线性的方程改为k-Hessian型方程，利用其整体思路对k-Hessian型方程σ2（D2u）=1进行解的水平集的凸性研究.

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