宁智明

解数学题是每位中学生一定会遇到的问题。几乎所有学生都希望自己具有较高的数学解题能力，但事实并非如此。许多学生常常向教师提出如下的问题：“课能听懂，书能看懂，就是题不会解，遇到有一定难度的题目更是感到束手无策。即使能解出，多半是碰来的，缺少一般方法，而且解出题后收获也不大。”笔者带着这些问题进行了深入的思考。结合自己的课堂教学实践，笔者认为上述现象的产生主要是下面三个原因造成的：一是基础知识不扎实;二是缺少科学的学习方法;三是核心素养之思维能力低下。其中核心素养之思维能力低下是最主要的原因之一。下面笔者根据教学实践，通过案例说明怎样在解数学题的教学中提升学生的核心素养之思维能力。

一、造成学生核心素养之思维能力低下的原因分析

造成学生思维能力低下的原因很多，鉴于个人认识的范围，仅就其中三个原因进行简要分析。

1.缺乏核心素养要求的知识与技能的积累和变换训练，造成学生思维的深刻性能力低下。思维的深刻性能力是指能够把握事物的关键和本质的能力。

【例1】 已知：a，b，c∈R+，且a+b+c=1，

求证：

此题曾在高三学生中作过练习，不少学生能够证明到如下的程度：

（说明：运用不等式的有关性质，可证明出和 ）

有少部分学生又进行了如下的分析：

欲证：

只需证：

而

故无法直接推出

（说明：

此后，多数学生未能够顺利证出上面的结论。事实上，只要对欲证不等式进行灵活地变换，问题不难解决。

欲证：

只需证：

即

而由于 ，故1-27abc≥0

并且显然有

故上述不等式成立，从而原命题得证。

在这里，学生能力低下体现为不能运用数学基本技能对不等式  进行灵活变换。

【例2】比较log 2 3和log 3 4的大小。

对这个题目，绝大多数学生都可以做到如下的地步：

只須判断lg3-lg2>0的符号，而判断lg3-lg2=lg3-lg2的符号，运用对数函数的性质，只须比较3与2的大小。

至此，学生便无法前进了。因为他们无法把3与2化为可比较的形式，体现为缺乏基本技能。

事实上，∴2< 3，从而命题得证。此处学生能力低下体现为没有想到< 这种技能。

从【例1】和【例2】我们可以看出，学生在解题过程中所遇到的障碍是一些关键步骤，而这些关键步骤的解决则需要用到数学的基本技能和变换，我们恰恰又在这些方面没有对学生进行很好的训练，因而造成了学生解决问题的关键步骤的能力低下，实质上也就造成了思维的深刻性能力低下。

2. 缺乏核心素养要求的批判质疑的思维意识，造成学生思维的逆向性能力低下。学生思维的逆向性能力是指能够从事物的反面分析事物的能力。

笔者在高三课堂上让学生做了下面的题目（未给任何暗示）：

【例3】 若a，b∈R+，求证：10（a+b）>ab

全班绝大多数学生都相信这个命题是绝对正确的，很虔诚地做了十多分钟，并运用了许多不等式的性质。到后来，仅有两名学生对命题本身产生了疑问，但没有准确地指出命题的错误所在。事实上，只要对欲证不等式进行适当的变形，不难指出其中的错误：欲证原式，只要证10（+）>1。但我们发现，若a，b取较大的正数时（+）将会很小，而10是常数，因此10（+）也会很小，不可能一定小于1。鉴于这种分析，只要令a=b =100，立即就会说明原命题是错误的命题。

这个事实比较典型地说明了学生缺乏核心素养要求的批判质疑意识。而我们平时在这方面的训练又很少，平时学生练习的命题绝大多数是真命题，所以造成了他们思维的逆向性能力低下。

3. 缺乏核心素养要求的独立思考、独立判断的意识以及做出选择和决定的能力，造成学生思维的独立性能力低下。思维的独立性能力是指善于独立思考，并有自己见解的能力。不少学生由于暂时不会解题，又不敢大胆尝试，便对自己的能力产生了怀疑，从而使自信心受到了打击，进而使思维的独立性受到影响。按照心理学的理论，学生此时心境处于消极状态，思维水平也低于常态。正如前述，学生在解【例3】时，当难以继续解题时就出现了自信心不足的状态。如果这种情形在解题过程中经常出现，而教师又没有给予及时的指导，就会造成学生思维的独立性低下，并且很有可能使学生产生自卑或自责心理，最终导致学习兴趣下降。而缺乏兴趣则是提升核心素养之思维能力的最大障碍之一。

对上述三个方面的分析，我们可以看出，学生的思维能力低下的原因之一是由于教师在平时教学中，缺乏提升学生核心素养之思维能力意识和系统训练。依据教育学理论，任何一种能力的获得，都必须经过系统的训练，而我们恰恰在上述几个方面对学生缺乏系统的训练，因而造成了学生核心素养之思维能力低下。

二、在解题过程中提高核心素养之思维能力

笔者认为，在掌握好基础知识和基本技能的前提下，解题时，遵循如下的一些原则，对提升学生的核心素养之思维能力会有所帮助。

1.核心素养要求学生能够思维缜密地分析问题。实质上就是要求我们在教学中加强对学生思维的周密性能力的培养。思维的周密性能力是指能够全面分析事物的能力。学生在动手解题之前，必须回答如下的问题：命题的已知条件是什么？需要做什么或证明什么？只有当命题的题设和结论都搞得很清楚，而且已经牢牢记住的时候，才能开始解题。要解题，就应当充满信心，要坚信通过努力，问题一定会得到解决。这样做实质上就是对思维的周密性能力和独立性能力的培养和提高。

2.核心素养要求逻辑清晰，能运用科学的思维方式认识事物、解决问题、指导行为。因此，学生在解题时应遵循的逻辑顺序是：先仔细观察题目所属的类型，用解同类型题目的一般方法进行尝试（如【例1】属于不等式证明，可以用综合法和分析法尝试）;如不能解决，则要考虑运用一些数学基本技能或变换（如【例2】中运用了）;如果仍然不能解决，就应该运用逆向性思维，重新考察题目本身，看看题目本身的条件或结论是否存在问题，能否通过具体验证的方法找出命题错误（如【例3】中结论的错误），前述的逻辑过程是思维逐步深化的过程，实质上也就是寻求事物本质的过程，因而有助于思维的深刻性和逆向性等能力的提高。

3.核心素养要求培养学生勇于探究、不畏困难、坚持不懈的探索精神。当学生解不出题时，他们往往会采取如下三种态度：第一，彻底放弃或一直解下去。彻底放弃等于失败，一直解下去实际上是自责心理的表现，这在解题中均属不理智行为，是下策。第二，寻求老师或同学的帮助。这种态度的优点是可以及时解决问题，吸取他人的思考方法，缺点是失去了独立思考的机会，此属中策。第三，暂时放弃，但并不忘记，而是经常思考，直至得出自己满意的结果，很显然，这是上策。这种态度才会有助于核心素养所要求的勇于探究、不畏困难、坚持不懈的探索精神的培养。

三、通过解题后的反思来提高核心素养之思维能力

我们知道，解题过程本身就是提高学生核心素养之思维能力的过程，但解出题后的反思过程却往往被学生所忽视，大多数学生解出题后往往一放了事，从而失去了进一步提高自己思维能力的机会，这正是他们感到无所收获的原因所在，笔者认为，如能解出题后再从下述方面进行反思就会得到较大的收获，其核心素养之思维能力也会得到进一步的提高。

1.核心素养要求学生能多角度分析问题。实质上就是要培养学生的广阔性思维能力，思维的广阔性能力是指能从不同的角度分析事物的能力。教师可以通过一题多解的教学对学生进行训练提高。

如【例2】还可用基本不等式进行证明，

因为log23-log34=

显然，

所以lg2·lg4

而lg23>lg2，由此命題得证。

经常进行一题多解训练的最大优点就在于，能够开拓思路，使学生养成一种从多角度分析问题的理性思维习惯，在一定程度上可以避免那种遇到难题时所出现的束手无策的现象。

2. 核心素养要求培养学生勇于探究的好奇心和想象力。实质上是要提高学生思维的发展性能力。思维的发展性能力是指能够从一事物出发，思考方向四处扩散，最终找出事物本质或发现新问题的能力。在教学中，教师可以通过联想的方式对学生进行训练提高。联想的方式很多，从题目本身出发进行联想就是一种有效的方法。下面仅就其中两个方面举例说明。

（1）变换题目条件或结论，并渗透其他知识，将其演变为另外形式的题目。

如对【例1】可作如下的演变：由于条件a，b，c∈R+，a+b+c=1往往与三角类型的题目相联系，联想到一个习题结论：长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为α，β，γ，求证：cos2α+cos2β+cos2γ=1.

因此，可令a=cos2α，b=cos2β，c=cos2γ，于是【例1】可变为如下的形式：设α，β，γ分别为某长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角，试证：

≥（证明从略）

（2）把题目推广为更一般的形式。

仍以【例1】为例进行说明，如果联想到以前曾经证明过的一个命题：已知a，b∈R+且a+b=1，求证 再与【例1】的形式比较，便不难得到如下的推广形式：若a1，a2，Λ，an∈R+，且a1+a2+Λ+an=1

求证：n（证明从略）

在联想过程中，值得说明的是，联想所得到的结果，有些可以当时解决，有些则不容易当时解决，如上述【例1】的推广形式，用初等方法证明很繁杂，中学生很难解决，但是运用数学分析中的有关结论，问题就容易解决。遇到这种情况，不妨暂时记下来，待今后慢慢解决，这也就是核心素养所要求培养的问题意识。正像G.波利亚在《怎样解题》一书中写道：“你解答的也许是很普通的题目，但是如果它能唤起你求知的欲望，驱使你去创造，如果题目又是你自己解出来的，你就会经历从事发现所必需的智力的紧张，同时体验到胜利的欢乐。”

中国学生发展核心素养以培养“全面发展的人”为核心，综合表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新六大素养，其中的科学精神要求主要是学生在学习、理解、运用科学知识和技能等方面所形成的价值标准、思维方式和行为表现。具体包括理性思维、批判质疑、勇于探究等基本要点。在教学的实践中，我们认为，数学解题教学是培养学生核心素养所要求的理性思维、批判质疑、勇于探究等方面思维能力的有效方法和途径。