郝敬军

【摘要】作为初中数学最基本最重要的数学思想之一，数学结合思想有着自身鲜明的特征和优势，在解题中有着重要的应用，一线教师应给予其足够的重视，并在教学实践中积极探索和总结其应用规律。本文结合典型题例简要探讨了数形结合思想分别在“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”中的应用，冀对相关教学工作者有所助益。

【关键词】数形结合;初中数学;解题应用;教学心得

我国大数学家华罗庚曾一针见血地指出：“数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非。”作为数学两个最基础的概念，“数”和“形”对立而又统一。所谓数形结合，概括地说即为按照数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来达到问题的顺利解决，其作用和优势主要表现在通过“以形助数，以数解形”来简化思维量和运算量较大的问题，从而大大提高解题效率和正确率。新课改将义务教育阶段各学段的课程内容分为数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个基本部分[1]，除综合与实践活动外，数学结合思想在其他三个部分中均有重要的应用，以下拟结合题例对此展开较为系统的探讨，冀对相关教学工作者有所助益。

一、数形结合在“数与代数”中的应用

大体而言，初中学段涉及数形结合的“数与代数”问题，可以分为数轴问题与函数问题两个基本范畴。前者常见的情况有借助数轴处理相反数和绝对值问题，有理数的分类、大小比较、加法运算问题，不等式解集问题等，该类问题一般都较简单，关键是抓住实数与数轴上点的对应关系，借助数轴彰显数学关系。而后者相对来说则远为复杂，这主要是因为函数本身即为初中阶段的学习难点，且其往往与方程、不等式甚至几何知识综合在一起命题，变化复杂而多样，对数学结合能力要求较高。解答这类问题的关键是将抽象的代数问题图形化，挖掘隐含信息，理清条件关系，并和坐标系图形进行正确对应。例如，在图1所示的坐标系中，直线x=1是与x轴交于A、B两点的抛物线y=x2+bx+c的对称轴，线段AB=4，P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与对称轴交于点E，设点P的横坐标是t，试求：①点A的坐标和抛物线的表达式;②当AE与EP的长度之比为1比2时，点E的坐标;③若M为抛物线顶点，与y轴交点为C，t为多少时四边形CDEM是等腰梯形？

该题第一问很简单，根据已知易求得抛物线的表达式为y=x2+2x+3，第二问和第三问涉及几何知识，有一定难度，需要结合图形认真分析，并通过作辅助线（如图2所示）彰显和利用隐含信息。第二问的解答过程大体为：由EG平行于PF，AE与EP的长度之比为1比2可知AG/AF=EG/PF=，又因AG长度为2，故有AF长度为6，点F坐标为（5，0），当x=5时，y=12，所以EG=4，则点E的坐标为（1，4）。第三问的解答过程为：由CD平行于EM可知∠ADO=∠AEM，又因四边形CDEM是等腰梯形，所以有∠ADO=∠CME，则∠ADO∠CME。易知C（0，-3），M（1，-4），则有tan∠DAO=tan∠CME=1，所以OA=OD=1，所以直线AP的解析式为y=x+1，将其代入抛物线解析式得到x+1=y=x2+2x+3，解得x=4或x=-1（舍去），最终得到点P的横坐标即t的值为4.

二、数形结合在“空间与图形”中的应用

如果说“数与代数”中运用数学结合的关键在于代数关系图形化，那么“空间与图形”中的数学结合则与之相对应，即利用图形彰显代数关系或几何数量关系。进一步而言，需要在吃透题意的基础上发现图形中的数学关系或通过构造图形彰显数学关系，进而合理利用最终使问题得到解决。在空间与图形知识部分，不论是计算题还是证明题，都不会脱离这一基本思路。毫无疑问，自主构造图形的情况难度更大，对学生应用数学结合思想的能力要求更高。我们来看一道简单而较为典型的题例。

我国古人曾利用弦图法成功证明勾股定理，即利用四个完全相同的直角三角形拼凑成一个正方形加以证明，你能想到证明过程吗？

该题虽然简单，但如果数形结合的敏感度不够往往会感到无从下手，虽然题目已给了明确的提示，即利用四个完全相同的直角三角形拼凑成一个正方形，但解题者不仅需要确定如何拼凑，更要能发现和利用图形中的相应数量关系来加以证明，这属于典型的通过构造图形彰显数学关系的情况，考查的是深层次的数形结合能力。第一步，首先设直角三角形的三边长分别为a、b、c，然后画出四个直角三角形拼成一个正方形的示意图，见图3。

接下来就需要以图形为载体，寻找等量关系列出代数式，通过变形来得到a2+b2=c2，思路是较为明确的，同时也不难想到，可以利用正方形的面积等于四个直角三角形之和来计算：一方面S正方形ABCD=c2;另一方面S正方形ABCD=4S三角形ABH+S正方形EFGH= 4×ab+（a-b）2=2ab+a2-2ab+b2=a2+b2，故a2+b2=c2。

三、数形结合在“统计与概率”中的应用

初中阶段的统计与概率属于基本层面，主要是为高中阶段的深入学习奠定基础，但其固有的抽象性和逻辑性对于正从形象性思维向经验型抽象思维过渡的初中生来说仍具一定难度。这种情况下，数形结合的直观性优势便得以彰显。通常来说，当问題事件中的元素大于或等于3时，通过画树状图的方式可以达到化抽象为形象，大大减少思维量从而提升解题效率和正确率。如下题。

某家庭有三个孩子，求：（1）3个孩子均为男孩的概率;（2）三个孩子中2个男孩1个女孩的概率;（3）3个孩子中至少一个为男孩的概率。

根据题意画出树状图如图4。

基于该图可以很容易看出每种情况的概率：P（3男）=;P（2男1女）=;P（至少1男）=。

综上所述，本文结合题例简要探讨了数形结合思想分别在“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”中的应用。作为初中数学最基本最重要的数学思想之一，数学结合思想有着自身鲜明的特征和优势，在解题中有着重要的应用，一线教师应给予其足够重视，并在教学实践中积极探索和总结其应用规律。本文抛砖引玉，尚盼同仁指教。

【参考文献】

[1]义务教育阶段数学课程标准[S].中华人民共和国教育部，2017.