张科群

【摘 要】本文首先举例分析了几道2018年浙江省解析几何高考题及其解法过程，然后思考了2018年浙江省解析几何高考题，最后探讨了透过表象看本质在数学解题中的重要性，以期为学生更好地学习数学提供有效方法和依据。

【关键词】解析几何;高考题;思考

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2019）28-0057-02

1    2018年浙江省解析几何高考题及其解法过程举例分析

1.1   表象

（2018年浙江省高考第19题）已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上。

（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴;

（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1（x<0）上的动点，求△PAB面积的取值范围。

学生刚看到题目的时候对第一问就会有些无从下手。它与传统的直线方程与曲线方程联立求韦达，再将几何条件坐标化不同。这道题目如果设AB直线方程，再与抛物线方程联立，学生根本不知道接下去如何解决线段AP，BP的中点在抛物线上这一几何条件。

高考题的特点就在于新颖，第一次碰到有种耳目一新的感觉，好像跳出了传统题目的包围圈，但是仔细分析题目，这道题目的第一问可以有不同的解法，第一可以巧妙借助几何知识。

解法过程：如图2，设线段PA，PB的中点分别为C，D，线段CD的中点为N，由平面几何知识容易知道P，N，M三点共线，当直线AB与轴垂直时，由于抛物线的对称轴为轴，所以△PAB是等腰三角形，且轴，则有PM⊥AB（M，N在轴上），即PM垂直于轴。

再仔细观察图形，可以发现图3中△PAB类似于阿基米德三角形。（抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形，这个三角形就是阿基米德三角形）。阿基米德三角形处理方法为：若抛物线，

1.2  本质

阿基米德三角形的处理方法的核心是利用PA、PB是两条位置完全相同的切线，所以形成了两个结构完全相同的等式，从而化归为同一方程，即阿基米德三角形蕴含根。而19年的浙江省高考题PA、PB在抛物线上位置完全相同，等同于把切线转变成割线，它是否仍可沿用阿基米德三角形的处理方法呢？

解法过程：，

PA中点，因为PA中点在抛物线上，所以，又因为，所以得到：，直线PB与直线PA位置相同，同理可得，合并得到满足，

把阿基米德三角形的处理方法沿用到这道高考题中，不仅巧妙的解决了第一问，更为第二问做好了铺垫。这个题目看似新颖，但其解法却不新，而且早在2011年的浙江省高考中就出现过类似的题目。

1.3  透过表象看本质

（2018年浙江省高考第21题）

已知抛物线：，圆：的圆心为点M（图4）。

（Ⅰ）求点M到抛物线的准线的距离;

（Ⅱ）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交拋物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂直于AB，求直线的方程。

2   2018年浙江省解析几何高考题的思考

自主招生题、高考题、竞赛题各种各样的题不胜枚举，但是高中的数学知识和方法就这些，所以更多的题目是原有题目的改编题。如文中所讲的这两个高考题，它都是出自阿基米德三角形，从同一个点出发的两条抛物线切线改编成割线和圆的切线，其本质是相同的。

3   透过表象看本质在数学解题中的重要性

数学题目很多，不可能全都做完，所以在平时的解题过程中，要透过题目看到问题本质，归类出基本模型，通过一题多解和多题一解，让学生掌握处理一个基本模型的方法，理解方法背后所隐含的数学思想，发展学生的数学建模素养和逻辑推理素养。变化的是题目，不变的是解法，通过对问题变式的探究和原问题的推广，帮助学生掌握一类问题的通解通法，进而形成解题模式。