李亿民

(山东理工大学 数学与统计学院，山东 淄博 255049)

对于指数分布的定数截尾寿命试验，已经有了比较成熟的处理方法[1-2]。对于定时截尾寿命试验，如果规定的截尾时间较短，特别是对于高可靠产品，在规定时间内失效个数往往比较少，甚至出现无失效的情形[3-5]。

设产品寿命T服从参数为λ的指数分布，即

T～f(t)=λexp{-λt},t>0

(1)

式中：λ>0为产品的失效率,R(t)=exp{-λt}为产品在时刻t的可靠度。

为了充分利用产品的试验信息{(ni,0,τi),i=1,2,…,m}和总体参数的先验信息，对式(1)，本文试图给出参数λ的单侧M-Bayes置信上限[6]和可靠度R(t)的单侧M-Bayes置信下限，并讨论估计量的有关性质。

1 失效率λ的单侧M-Bayes置信上限定义

对于参数λ，可以选择其先验密度函数为

π(λ|a)=aexp(-aλ),λ>0

(2)

式中a>0为超参数[6]。

证明 在无失效数据{(ni,0,τi),i=1,2,…,m}情况下，样本的似然函数为L(0|λ)=exp{-Sλ}，若λ的先验密度函数由式(2)给出，由Bayes定理，得参数λ的后验密度函数为

对于a>0，假定其上界为c，由于不知a服从(0,c)上的具体分布类型，为此，假定其密度函数为

(3)

(4)

式中j≥0。当j=0时，即为(0,c)上的均匀分布；两种密度函数从图形上差别较大，式(3)为a的严格递减函数，式(4)为a的严格递增函数。在对参数没有任何信息时，常常选用无信息先验分布，即选择均匀分布。在式(3)、式(4)中，选择了参数的单调递减函数和单调递增函数，即选择了比较极端的先验分布情况下对参数进行估计，目的在于比较极端情况下参数估计结果的差异，从而说明该方法的稳健性。

2 失效率λ的单侧M-Bayes置信上限函数性质

证明 (i)由定义，得

对任意0

(5)

所以

3 可靠度R(t)的单侧M-Bayes置信下限定义

为便于应用，本文给出a的3个特殊先验密度函数为：

(6)

(7)

(8)

(i)固定c，参数λ的置信水平为1-α(0<α<1)的单侧M-Bayes置信上限分别为：

4 实例分析

现有某型号发动机的一组无失效数据，见表1。根据工程经验，该产品的寿命T服从失效率为λ的指数分布式(1)。

表1 发动机的无失效数据
Tab.1 No failure data for engine

i 123 4 5τi/s115185 783 8701 450ni/个27 13 4 52

c 15001 0003 0005 000极差λ^MBU11.885 0×10-41.870 4×10-41.856 1×10-41.802 2×10-41.753 0×10-42.320×10-5λ^MBU21.884 9×10-41.856 0 ×10-4 1.828 1×10-4 1.726 8×10-41.639 0×10-42.459×10-5λ^MBU31.884 9×10-41.846 4×10-41.809 5×10-4 1.677 0×10-41.563 2×10-43.217×10-5极差0.01×10-62.40×10-6 4.66×10-612.52×10-618.98×10-6

c 1 5001 000 3 0005 000极差R^MBU1(100)R^MBU2(100)R^MBU3(100)极差0.9813 2 0.981 47 0.981 610.982 140.982 620.001 290.981 330.981 610.981 890.982 880.983 740.002 410.981 330.981 710.982 070.983 370.984 490.003 160.000 010.000 240.000 460.001 230.001 87R^MBU1(500)R^MBU2(500)R^MBU3(500)极差 0.910 050.910 720.911 370.913 830.916 080.006 02 0.910 060.911 380.912 650.917 280.921 320.011 260.910 060.911 810.913 500.919 670.924 820.014 76 0.000 010.001 090.002 130.006 840.008 74

从计算结果看，无论是失效率λ的还是可靠度R(t)的单侧M-Bayes估计，在0