万 能 王福红 叶春明

(1.上海理工大学 管理学院, 上海理工大学 超网络研究中心，上海 200093； 2.上海建桥学院，上海 201306)

1 超网络概念

复杂网络和超网络都是研究复杂系统建模的有力工具。随着超大规模网络系统、多层网络、网络中网络等复杂网络系统的出现，国内外学者掀起了超网络研究的热潮。目前，超网络的研究尚处于起步阶段，关于超网络的概念尚没有统一的定义。超网络的定义主要分为两类：一类是网络中的网络NON(Networks of Networks)，即Supernetworks和多层网络，另一类是用超图表示的超网络，即hypernetwork。本文是基于超图超网络的研究。超图是对普通图的扩展，与普通图的主要区别在于：普通图的一条“边”只能连接两个节点，只能表示一对节点之间的两元关系，而超图中的一条“超边”可以包含多个节点，可用来表示多个节点之间的多元关系。与复杂网络相比，超网络是更高阶的建模工具，在大数据和超大规模网络背景下，超网络理论的提出为描述和分析大型复杂系统提供了理论基础和新的思路。

1.1 超图的定义

设V={v1,v2,…,vn}是一个有限集，若

(1)Ei≠φ(不=1，2，…,m)，

则称二元关系H=(V,Eh)为超图，简记为(V,Eh)或H。其中，V的元素被称为超图的节点，Eh中的元素被称为超图的超边。如果两个节点属于同一条超边，则称这两个节点邻接；如果两条超边的交集不空，称之为这两条超边邻接。如果每条超边中的顶点数都相等, 则称为均匀超图或一致超图。如果|V|和|Eh|均有限，则称H为有限超图，H=(V,Eh)退化为图，不含重边的超图为简单超图。超图G=(V,E)的关联矩阵是一个矩阵((aij))，其中m行表示G的超边，n列表示G的顶点。如果使Vj∈Ei,aji=1，Vj∉Ei,aji=0.最简单超图(普通图)如图1所示，超网H的关联矩阵如表1所示。

图1 普通图

图2 超图H

V1V2V3V4V5V6E111E2111E3111E411E511

1.2 超图H的对偶超图H*

如果对所有的j，Vj={ei|i≤m,vj∈Ei},vj≠φ，∀j，UjVj=E,那么超图H*=(E;V1,V2LVn)称为H的对偶超图。(H*)*=H。图2的对偶超图H*如图3所示。

超网络是超图的推广，假设Ω={(V，Eh),|(V,Eh)是有限超图}，G是从T=[0，+∞)到Ω的映射，对于任意给定的t≥0,G(t)=(V(t),Eh(t))是一个有限超图，指标t通常被认为是时间。超网络{G(t)|t∈T}是指超图的集合，节点vi的超度被定义为连接节点vi的数目，从超网络的定义可以看出，超网络是超图概念的推广和一般化。

1.3 超网络的指标

1) 节点超度(Node Hyperdegrees)

节点i的点超度DH表示包含该节点的超边条数。如在图2中，DHv1=2,DHv3=2,DHv5=3。

2) 超边度(Hyperedge Degrees)

超网络中，同一节点可能在多条超边中出现。超边度DEi被定义为与超边Ei直接邻接的其他超边条数。如在图2中，v5同时属于超边E1、E3、E5，则E1、E3、E5是邻接的，v4同时属于超边E1、E2、E4，则E1、E2、E4是邻接的，DE1=4,DE5=2。

3) 超边超度(Hyperedge Hyperdegrees)

超边Ei的超边超度DHEi表示该超边所包含的节点个数。如在图2中，v5同时属于超边E1、E3、E5，则E1、E3、E5是邻接的，v4同时属于超边E1、E2、E4，则E1、E2、E4是邻接的，DE1=4，DE5=2。

4)超边相似性(Hyperedge similarity)

超边相似性是两条超边所含共同元素的个数除以两条超边所包含的元素之和。超边相似性的公式为

(1)

VREi代表超边Ei所包含的元素，VREj代表超边Ej所包含的元素。

5)基于超网络关联矩阵的SVD分解

任意的矩阵An×m都可以分解成三个矩阵

A=U∑VT

(2)

U是一个n×n的方阵(里面的向量是正交的，U里面的向量被称为左奇异向量)，∑是一个n×m的矩阵(除了对角线的元素被都是0，对角线上的元素称为奇异值)，VT(V的转置)是一个n×n的矩阵，里面的向量也是正交的，V里面的向量被称为右奇异向量)。

2 超网络建模

2.1 数据来源

以A公司BOM数据为例：A公司是中国领先的工业物联网解决方案供应商，提供基于工业物联网的云平台，面向工业4.0下制造业的转型与升级，提供制造物联网整体解决方案及相关软硬件产品与服务。公司主营业务包括：智慧物联(车间级无线工业物联网平台及车间应用的数据采集与管理监控系统)、两化融合(精益智能化工厂系列软硬件产品和Andon、MES、EAM等运营管理系统)、智能集成(行业定制标准型智能制造整体解决方案如服装成衣、光电缆等)。A公司有自己的设计研发部门、生产制造部门(SMT, DIP., 组装)、采购部、销售部、工程安装调试、售后服务部门。共有20多种产品，既有物料BOM，又有结构BOM。表2为A公司呼叫器成品的BOM。

表2 A公司呼叫器BOM

2.2 超网络建模

以A公司所用物料为节点，以包含该物料的产品BOM为超边，即超边可包含若干个节点(物料)，该数据集描述了A公司的10种产品和26种采购物料。建立的BOM超网络示意图如图4所示。

该BOM超网络含26个节点，以编号v1Lv26表示；含12条超边，以编号E1LE12表示。为了研究的简化，如果在同一个产品(同一超边中)使用了多个同种物料，将使用该物料的数量作为该物料的权重。为了研究的简化，不考虑重边。 所建立的基于简单超图的BOM超网络模型如图4所示。

图4 基于无向超图的BOM超网络拓扑结构

在图4所示的拓扑结构中，A公司BOM超网络可表示为G=(V,E)。其中，V={v1,v2,Lv132}，是顶点的集合，也就是A公司所使用物料的集合；V={E1,E2,L,E12}是超边的集合，即A公司所生产的产品种类。如果一个产品使用了多个同种物料，将使用数量视为该物料的权重。如在3层3色塔灯成品中，使用灯泡(白光)的数量为2，2即该物料在该种产品中的权重。

2.3 BOM超网络的关联矩阵表示法

超网络的关联矩阵Am×n由12行和132列组成，行代表一条超边Em，每一列代表一个节点vn，Em超边中若含有节点vn，则Bm×n元素的值为1，否则值为0。于是得到BOM超网络的关联矩阵Bm×n,在关联矩阵B中，(m=12,n=132)。

当只考虑每种产品中所用的物料种类而不考虑物料的用量时，该BOM超网络的关联矩阵用矩阵B表示如下：

当考虑某种产品所用物料的数量时，该BOM超网络的关联矩阵如图6所示。

图6 A公司BOM超网络的关联矩阵示意图

在图6中，每一行代表一种产品(如呼叫器)及其所用物料。如呼叫器产品由呼叫器外壳、呼叫器控制板、9V电池、 电池扣、贴膜等五种物料组成，每一行即代表一种产品的BOM清单。 该超网络的关联矩阵用矩阵A表示如下：

3 实证与数据分析

3.1 节点超度

根据矩阵A12×132，对BOM超网络关联矩阵的每一列求和，得到每一个节点的超度。节点超度表示该物料在A公司的12种产品中, 节点超度前三位的是V61(100nF贴片电容)、V87(1K贴片电阻)、V103(10nF贴片电容)。100nF贴片电容用量最大，它虽然价格不高，但也是该公司的关键物料。

3.2 物料通用度

根据矩阵B12×132，根据公式(3)计算每种物料的通用度：

(3)

表3 节点超度较大的物料

表4 通用度较大的物料

3.3 超边度

在BOM超网络中超边度是指BOM和BOM之间的邻接关系，当BOM之间有共同的物料节点时，我们认为两种产品BOM之间是邻接的。经过统计分析，BOM超网络超边度的统计情况如表4所示。超边度大的产品与其他产品有较多的关联物料，或者有与其他产品有相同的模块，是A公司的核心BOM，也是A公司重点管理的BOM，在备料时或半成品生产时可以考虑共同部分有库存。 如图7所示，E6产品BOM的超边度为6，说明该产品的6种物料在A公司的其他产品也有使用。 超边度大的产品BOM与其他产品的BOM关联度大。超边度较大的产品为E8(控制器)、E7(刷卡器)、E9(计数器)、E5(主机控制器)、E11(读卡器)。

表4 超边度较大的产品

图7E6语音主机产品的超边度为6，表明该产品的6种物料在A公司的其他产品使用，超边度大的BOM也是该公司的核心BOM

3.4 超边超度

超边Ei的超边超度DHEi表示该超边所包含的节点个数。超边超度即每条超边包含的节点个数，从图4和关联矩阵可以看出，每一个BOM的超边超度，就是其所用物料总数量。超边超度指标可评价该产品的复杂度。A公司超边超度较大的有E4(新主机控制器)，E11(读卡器)，E12(四子看板)。超边超度大的产品也是A公司重点管控的产品BOM。物料数量多的MOM是应该格外关注的BOM。

表5 A公司12种产品的超边超度

3.5 超边相似性(Hyperedge similarity)

Jcarrd相似性系数主要用来衡量两个产品BOM之间的相似度，有两个不同的BOM共同具有的特征。如果两条超边所含共同元素的个数除以两条超边所包含的元素之和。根据统计分析，不同超边之间的超边相似性矩阵如表5所示。从表5中可以看出：超边相似系统最大的E5(中继器)和E6(语音主机)产品为0.44。这两个产品的物料组成有较多的重叠，即E6产品是E5产品中的一个重要的模块。从表5中可以看出：A公司是物联网企业，E5、E6与E7、E8、E9、E12产品比较相似，属于同一类产品，E1和E3产品比较相似，E7与E9、E10、E12产品相似，有共同的属性。如果两种产品的BOM相似度较大，说明两种产品所用物料很相似，关注其加工工艺是否相同，如果加工工艺相同，则可归为同一类型产品。

3.6 BOM 超网络关联矩阵的SVD分解

根据A=USVT，对关联矩阵A12×132进行SVD分解，进行BOM超网络的降维及聚类分析。 A公司BOM超网络的SVD分解后为所对应的对角矩阵S的非零特征值由图8所示。S特征值矩阵中的非零特征值表示左奇异矩阵的一行与右奇异矩阵的一列的重要性与重要程度，特征值越大表示所对应的左奇异矩阵U的某行或右奇异矩阵V的某列越重要。

表5 超边相似系数矩阵(即产品的Jcarrd相似系数)

图8 BOM超网络关联矩阵SVD分解后对角矩阵S(SVD分解后的A132×12部分矩阵)

计算图8中SVD分解后的非零特征值及非零特征值所占总特征值之和的百分比，计算过程如表6所示。

表6 SVD分解后对角矩阵S的非零特征值的占比计算

由表6可以看出：前5个特征值之和占了全部特征值之和的95%。因此，只看SVD分解后的左奇异矩阵U132×132的前五列数据，即左奇异矩阵U132×5表示某种物料的在A公司整个BOM表中出现的频率。物料在A公司整体BOM表中出现的频度值如表7所示。从表7中可以看出：V61、V87、V103、V18、V15、V16、V17、V4、V5这几种物料出现的频率最高，是A公司最通用和最重要的物料。

表7 根据SVD分解后的U132×132数值所得到的物料重要性

同样，SVD分解后的右奇异矩阵为V12×12，与左奇异矩阵U132×5的前五列数据相对应，只分析右奇异矩阵V12×12的前五行V12×5，右奇异向量V表示产品的一些特性。

根据SVD的原理，我们只要对BOM关联矩阵进行一次分解，就可以同时完成产品分类和物料相似性分类，同时还能得到每个产品和每个物料之间的相关性。其次，右奇异向量中第一行表示每种产品中出现的物料个数的近似值。

根据SVD分解，只看V12×12前五行的数据，从图9中可以看出，E11(刷卡器)和E4(新主机)产品所用物料的数目最多，其次为E12、E7、E8、E9产品，这与采用超网络的超边超度分析指标所得到的结论是一致的。因此，同时也验证了SVD分解的有效性。

图9 SVD分解后的右奇异矩阵

4 BOM对偶超网络的数据分析

以物料为超边，以产品为节点，建立对偶超网络模型如图10所示。进行对偶超图的超网络建模后，发现超边重边较多。超图超网络是基于无重边的简单超图的研究，而A公司BOM的对偶超图超网络分析重边较多，分析比较复杂。BOM超网络不适用于对偶超网络的数据分析。

图10 A公司BOM超网络的对偶超图

5 结论与展望

BOM是制造业的基因，BOM数据是企业的重要资源,数据集成是智能化生产的重要基础。随着云制造和大数据时代的到来，BOM数据也集成在云制造平台上，BOM数据中的数据挖掘及关键资源管理成为制造型企业日益关注的对象。采用更先进的BOM分析方法，识别出BOM大数据中的关键物料这一基础性工作，可给企业的物料采购、库存、设计选型、工程变更、售后维修备品备件等带来管理上的参考和便捷，进行物料的组合优化、风险预防、联合采购、备品备件，可降低物料管理的复杂度，提升企业以BOM数据驱动运营管理的水平和效率，降低成本，提高企业的竞争力。

本文通过计算加权超网络的节点超度、物料通用率、超网络关联矩阵的SVD分解，可以从宏观上得知哪些物料是公司的关键(Critial)物料，通过计算超边相似性、超边度、超边超度可以比较宏观地掌握公司的关键产品及其复杂性与相似性。综合文中表1、表2、表7中的物料再结合传统的ABC物料管理方法(按照物料的成本)、传统的物料分类法(按照物料在产品中功能的重要性分类如Minior、Major、Critical等方法)，可以更全面地管理公司的物料。超网络BOM管理方法和传统物料管理方法的对比如图8所示。在大数据背景，传统的物料管理方法基于某一微观视角，而超网络BOM建模方法基于宏观视角与系统工程理论。微观视角和宏观视角相结合，才能更有效地促进物料管理效率的提升。

本文基于超网络节点的重要性、超边重要性理论、找到核心的元器件和节点，基于超边度、超边超度、超边相似度，得到该公司类似的产品及产品的复杂度、产品之间的相似度。本文基于系统工程的视角，为现有的BOM管理研究提供了一种新的研究视角，相关研究结论为A公司的物料管理提供了一种新的参考和借鉴，提高了A公司物料管理的效率。在研究中发现：基于超网络关联矩阵的SVD分解，可以一次性得到关键物料，得到产品的相似性与物料的相似性；超网络关联矩阵SVD分解所得到的关键物料结论，与BOM超网络建模所得到的统计参数指标分析结论是一致的。在大数据背景下，为了研究的简单，也可以采用超网络关联矩阵的SVD分解来得到关键物料和关键产品。

表8 超网络方法与现有物料管理方法的对比

因此，在人工智能和大数据时代，基于超网络的关联矩阵的SVD分解，为BOM物料管理提供了一种新的研究视角和管理启示。识别出少数但对企业发展起决定性作用的关键物料种类和产品，可以为企业物料成本的降低、物料的联合采购、物料的替代、产品设计时物料的选型、产品的升级换代、物料的安全库存等方面的管理提供参考和借鉴，为提高物料的管理效率提供借鉴。采用超网络理论对BOM数据进行挖掘，识别关键物料和产品，降低了对样本数据的要求，为未来深度学习和智能制造技术打下基础。未来将进行智能制造背景下BOM驱动作用机制的研究。