参考网


论述数学不等式的学习和解题技巧

2019-08-27 03:34:00 《速读·中旬》 2019年8期

◆摘 要:不等式的学习整个数学课程中最重要的组成部分,更是学习过程中的重点、难点,因此在学习过程中需要我们给予充分的重视。本文主要介绍了在高中学习数学不等式过程中学习方法和解题技巧,主要目的是能够帮助更多的同学在学习不等式过程中能够做到驱动我们在一定程度上完成相应的目标任务,提升解题的速度和正确率,由此激发我们更多同学学习数学的兴趣,培养其实践和创新能力。

◆关键词:不等式;学习方法;解题技巧

不等式在高中学习中占据了重要的地位,在很多考试题目中更融入了不等式的思想,但由于在不等式学习中是拥有很强的抽象性,故而在解答不等式过程不明不白,思路不清晰,步骤不完整。更甚者见到不等式便放弃了其解答,进而使得一部分同学在学习不等式的过程中望而却步,其实实际上在不等式的学习和解答过程中并没有多大的难处,结合本人自身的学习经验,只要理清思路,掌握好解题方法,抓住易错题型,掌握解题技巧,这样就能更快的发现问题并能解决问题。

一、忽视不等式定义域或取值范围

在解题过程中无视题干中已知定义域和变量的取值范围,或是隐藏在函数自身性质中的定义域,进而导致在实际解题中的偏差和错误。所以在解題过程中应该牢牢抓住不等式中基本的函数定义域规则,例如分数的分母不能为0;偶次方根的底数大于等于0;对数函数的底数应该大于零且不等于1,真数大于0;指数函数的底数应该大于0且不等于1;0的零次方没有任何意义。例如在解决绝对值不等式时,可以通过变形去掉绝对值的符号,将其转化为相同区间的一元一次、一元二次或者是一元三次的方程或方程组进行解答,在解答的同时对定义域进行分析,注意自变量的区间范围。在上面的举例中我们不难看出在解答不等式题目中应该注意分析包含在题干中的隐藏条件,充分了解函数的基本性质,充分理解函数定义域的取值范围。

二、数形结合不等式

很多同学在面对一些无法直接运算的题目时,不知从何下手,本人在遇到此种类型的不等式时,通过大量的做题可以发现运用数形结合的方式进行解答。总的来说也就是运用了由形化数,由数化形以及两方面转换,通过这三种解题思路来说,更是要根据具体的不等式题型进行分析,与此同时转换数形两者角色来说也有三种途径:①建立坐标系,直观的显现不等式的状态;②转化不等式,通过不同的途径进行分析;③构造不等式,在原本没有的基础上进行函数构造或构建相应的几何图形。就数形转换来说通常出现在不等式的参数取值范围和解不等式的题型中,这样可以使原本较为抽象的知识具体化,更加直观地得到答案,提高解题的正确率。

三、均值不等式

均值不等式也是不等式题型中常见的解答题目,按照不等式基本性质来说,我们可以进行总结即[a2+b2≥2ab],不限定其他条件,但是由基本不等式可以推出[a2+b2≥2ab],再次化简得[(a+b)2≥ab],这个不等式就是均值不等式即两个正数的算数平均数大于或等于两个正数的几何平均数。根据均值不等式来说可以得出:①求最值的条件:[ab]都为正数,积定和最小,和定积最大,有且仅有[ab]相等时,等式才能成立;②当这两个正数的积位定值时,可以根据其性质求出两者的和的最小值,当两个正数的和位定值时,可以求得积的最小值。

四、题型解析和解题技巧

1.值域问题

针对函数求值域来说,可以进行以下三种方式进行解答,拆、凑项,系数增加法和换元法,前两种能够覆盖大部分的不等式值域问题的解题思路,第三种方法可以对其进行广泛的应用,当遇到一些没有解题思路和突破口时可以使用此方法进行解答,寻找解题思路。

(1)拆、凑项

(2)系数增加法

例2:当x∈(0,4),求y=x(8-2x)的最大值。

分析:就本体而言,虽然是两个式子的积形式,但由于和不为定值,故而需要研究相应的式子使得和为定值,通过分析可得(8-2x)+2x为定值,则可以按照系数减法进行拼揍可得。

(3)换元法

例3:求函数[y=x-3+2x+1]的值域。

分析:看到这样的题目时,无法运算一次性得到结果,就可以将其进行换元,使得原有的变量转化为二次函数进行相应的求值,进而得到原函数的值域。

2.求最值

利用均值不等式的性质求最值,有四种情况:求正数积的最大值,求正数和的最大值,根据均值不等式判断最值得符号问题以及相应条件下的最值问题。这些题型可以运用下列三种方法进行求解:数形结合、导数法和拆分法,下面通过例题对以上三种方法进行相应的总结。

以上三种方法都能得到正确答案,但是针对不同题目可以运用不同的方法进行求解,导数和数形结合的方法针对大多数题目都能适合其求解,而对于拆分法来说方法简单,但需要拆分到我们需要的函数中,此方法耗费的时间较长,还容易出现错误,这就需要在解此类问题时需要根据不同的类型不同的化简方式进行求解,只有做到灵活选用,熟能生巧,才能更快更准解决问题。

五、总结

由于不等式是高中数学的学习重点和难点,也是我们高考数学必考知识点,我们在面对不等式解答前,需要熟知相应函数的基本性质,保持缜密的解题思维,要能够梳理出解题方法和思路,不要盲目的乱套乱分析,一步一步理清解答脉络,深刻剖析题干中隐藏的条件,罗列出相关的重要信息,进而使得不等式在化繁求简,分段分析时不错过每一个解答点,提升最终的解答过程和结果的正确率。不等式的学习和解题技巧不是一蹴而就的,需要举一反三,灵活应用,不断的总结和归纳,这样才能在学习不等式的过程中得心应手,取得高分。

参考文献

[1]杨帆.高中数学不等式的易错题型及解题方法探讨[J].中学生数理化(学研版),2017(01).

[2]江士彦.浅析高中数学数形结合的解题技巧[J].读与写(教育教学刊),2015(10).

[3]边蓉.浅析高中数学不等式的易错题型和解题技巧[J].中学生数理化(学研版),2017(01).

作者简介

陈维尧(1996—),男,汉族,四川省宜宾市人,本科学历。