李垂胜 邹兴平

(湖北省恩施市龙凤镇民族初级中学 445003)

一、拿破仑定理

拿破仑定理在城市建设规划中确定新发展中心区中心位置时，利用拿破仑定理可在老市区为任意形状时科学地确定新的发展中心区的位置，该方法可合理组织人流、物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率达到最佳.因而在城市建设规划中具有很好的应用价值.

法兰西第一帝国皇帝拿破仑为人颇为好学，自幼喜爱数学，对数学方面很感兴趣，早年毕业于炮兵学校，期间在学习射击、测量技术中对几何三角有特别爱好和研究，他在行军打仗的空闲时间，经常研究平面几何.他也是法兰西科学院院士，他对数学和数学家怀有特别的敬意，并且欣赏他自己提出的问题.拿破仑发现：“在三角形外侧以各边为一边作的三个正三角形的外心是一个正三角形的顶点.在斜三角形内侧以各边为一边作的三个正三角形的外心是一个正三角形的顶点.”因为是拿破仑发明，所以称拿破仑定理(法语：Napoléon Bonaparte).

二、证明方法

证法一：如图1，以任意三角形ABC的三边AB，BC，AC为边分别作三个正三角形ABG，BCH，ACO，它们的内心分别为F，D，E，要证明DEF是正三角形，只需证明它的三个角都是60°.

连接AF，BF，BD，CD，CE，AE，将△BDF绕点F逆时针旋转120°得△FAM，连接EM.

∵∠DCE=∠DCB+∠BCA+∠ACE=60°+∠BCA，∠EAM=360°-(∠FAM+∠FAE)=360°-(∠FBD+∠FAE)=360°-(∠CBD+∠CBA+∠ABF+∠BAF+∠BAC+∠CAE)=360°-(120°+∠ABC+∠BAC)=240°-(∠ABC+∠BAC)=60°+180°-(∠BAC+∠ABC)=60°+∠BCA.

∴∠DCE=∠EAM，∴△DCE≌△MAE(SAS)，∴EM=DE，∴△EFM≌△EFD(SSS)，∴∠EFM=∠EFD，∴∠DFM=2∠DFE.又∵∠DFM=∠DFA+∠AFM=∠DFA+∠BFD=∠AFB=120°，∴∠DFE=60°.

图1

同理可证，∠DEF=∠FDE=∠DFE=60°，故△DEF是正三角形.

同学们学了轴对称和相似知识后，就可以用以下方法来证明.

图2

证法二：如图2，以任意三角形ABC的三边AB，BC，AC为边分别作三个正三角形ABG，BCH，ACO，它们的内心分别为F，D，E，连接AF、BF、BD、CD、CE、AE.要证明DEF是正三角形，只需证明它的三个角都是60°.

因△ACO是正三角形，则∠AEC为120°.同理可证，另外两个角∠AFB和∠BDC也都是120°，于是，在六边形AFBDCE中，剩下的三个角的和是360°，所以，这三个三角形△AEF，△BDF，△DCE就能拼凑为一个与△DEF全等的三角形.

图3

如何拼凑请看下一步，如图3，可以想象把三角形像折纸一样向三角形△DEF内部翻折，把它们拼凑在一起.

于是∠AEF+∠CED=∠DEF，而∠AEC=∠AEF+∠CED+∠DEF=2∠DEF=120°,所以得出∠DEF=60°.同理，∠EFD=∠EDF=60°.故△DEF是正三角形.

图4

图5

同学们学了圆的知识后，就可以用证法三来证明.

证法三：如图5，在△ABC的各边上向外各作等边△ABF，等边△ACD，等边△BCE.设等边△ABF的外接圆和等边△ACD的外接圆相交于O,连AO、CO、BO.则∠AFB=∠ADC=60°.

∵A、F、B、O四点共圆,A、D、C、O四点共圆,∴∠AOB=∠AOC=120°.而周角等于360°,∴ ∠BOC=120°,∵ △BCE是等边三角形，∴ ∠BEC=60°,∴B、E、C、O四点共圆,∴ 这3个等边三角形的外接圆共点O.∵A、F、B、O四点共圆，A、D、C、O四点共圆，B、E、C、O四点共圆，∠AFB=∠ADC=∠BEC=60°，∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°.∵NP、MP、MN是连心线，BO、CO、AO是公共弦，∴BO⊥NP于X，CO⊥MP于Y，AO⊥NM于Z.∴X、P、Y、O四点共圆,Y、M、Z、O四点共圆,Z、N、X、O四点共圆,∴ ∠N=∠M=∠P=60°,即△MNP是等边三角形.

这一定理可以等价描述为：

若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为60°的等腰三角形，则它们的外心是一个正三角形的顶点.

若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为30°的等腰三角形，则它们的顶点连线构成一个等边三角形.

同学们学了余弦定理和三角函数的知识后，就可以证明：在三角形内侧以各边为一边的三个正三角形的外心是一个正三角形的三个顶点.

图6

同学们在学习数学知识解决问题时，要学会从多角度思考，采用多种方法，一题多解，也要学会对知识进行拓展引申，与生活生产实际向联系，学以致用，解决社会实际问题，为人类造福.