胡杨勇 谭建国

◆摘 要：欧拉公式是瑞士数学家欧拉导入的一个重要公式，在欧拉公式中，第一次将指数函数、虚数单位i与三角函数统一于一个优美而简洁的公式中。以它为基础得到的欧拉恒等式被认为是数学上最优美的公式之一。本文以欧拉公式与三角函数的关系为基础，在借鉴前人研究工作的基础上，对欧拉公式在高中三角函数教学中的应用进行了初步的讨论，希望能对高中数学中相关知识的教学提供参考。

◆关键词：欧拉公式；三角函数；应用

一、欧拉公式

欧拉是18世纪最优秀的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一。1748年，瑞士数学家和自然科学家欧拉导入了一个重要的公式（欧拉公式）：

在歐拉公式中，第一次将指数函数、虚数单位i与三角函数统一于一个优美而简洁的公式中。

若在欧拉公式中令[θ=π]，即得恒等式[eπi+1=0]（欧拉恒等式）被认为是数学上最优美的公式之一。欧拉恒等式很多时候也被叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个常数联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。

二、欧拉公式与三角变换

3.欧拉公式在三角函数解题中的应用

（1）三角恒等式的证明

此题做法的优点：同学们完全可以不用去考虑三角函数公式的选择，只需要将所有的三角函数式用欧拉公式替换，从而将证明题转换成指数运算的题目，难度降低。

（2）三角函数积的计算

当然，此题如果基础较为扎实的学生能观察出角[π9，2π9，4π9]存在二倍关系，想到用配凑正弦的二倍角公式也能求解。但学生们在选择公式方面本来就是一个难点，此种方法的单一性刚好克服了这一缺点。此题中用到了等比数列前n项和的求和公式和由欧拉公式得到的指数运算性质。

参考文献

[1]徐光甫，张邦基.欧拉公式中的数学美[J].东疆学刊，第15卷第4期，1998，10：33-34.

[2]李宗涛，邢婷文.欧拉公式在实数域内的应用[J].科技创新导报，2012（18）：125+127.

[3]王玉华.欧拉公式的推论与应用[J].科技创新导报，2009（13）：236.

[4]林清，蔡萍.利用欧拉公式推导三角函数公式[J].高等数学研究，第17卷第2期，2014，3：10-12.

基金项目：云南省文山州“十三五”教育科研2018年度课题-“新高考背景下普通高中课堂教学改革研究”。