☉江苏省海安市海陵中学 刘 生

不等式性质新授课教学是很多教研活动的热点课题，不少老师往往类比等式性质进行不等式性质的研究，通过一些具体数运算的举例引导学生发现不等号方向的规律，进而归纳得出不等式的性质，再进行大量的例、习题的训练，这种教学实施当然很有实效，但是与高品质的数学教学、追求数学育人的高标准还有一定的距离.笔者所在备课组经过充分研讨、集体备课生成的不等式性质课例重视由“数学现实”引入新课，并预设讲授如何从一般意义验证不等式性质，让学生感受到一种新的数学性质的生成需要经过证明才能确认，虽然减少了训练题的数量，但数学味儿更浓，教学效果也很好.下面先梳理该课的教学设计，并跟进教学立意的阐释，供研讨.

一、不等式的性质教学设计

教学环节（一） 创设情境，引出新知

情境引入：学习不等式之后，对于一些简单的不等式，如x+2＞4，可以直接看出它的解集为x＞2；但对于较为复杂的一元一次不等式，如，如何求其解集呢？这就需要学习不等式的性质，然后以此为依据将复杂的不等式进行变形求解.所以本课的任务就是研究不等式的性质.

教学环节（二） 归纳规律，验证性质

“实验1”：已知1＜2，计算并比较：

1+3____2+3，1+6____2+6，1+2019____2+2019；

1-3____2-3，1-6____2-6，1-2019____2-2019.

规律发现：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不变.

“实验2”：已知1＜2，计算并比较：

1×3____2×3，1×6____2×6，1×2019____2×2019；

1 ×（-3）____2 ×（-3），1 ×（-6）____2 ×（-6），1 ×（-2019）____2×（-2019）.

规律发现：不等式两边同时乘上同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘上同一个负数，不等号的方向改变.

教学组织：在学生发现规律之后，师生合作归纳出不等式的性质的文字表达，教师将其板书在黑板的主板区，先写出这些是“发现规律”，为了对这些规律进行验证，教师预设以下一些方法的讲授（可结合PPT进行）.

比如，利用数轴进行验证.在数轴上由左到右取两点A、B，对应着数a、b，a＜b.同时加上一个数，就是将A、B两点向相同方向平移一定的距离，仍然有a+m＜b+m，an＜b-n.

对于m＞0，利用数轴演示am＜bm时，可利用乘法的本质是加法，转化为加法进行演示说明.

对于n＜0，利用数轴演示an＞bn比较麻烦，可以利用相反数的意义，先在数轴上理解-a＞-b，再扩大几倍理解an＞bn.

还可从一般意义进行证明，借助于作差法.

不等式性质1的证法：因为a＜b，所以a-b＜0，所以a+m-b-m＜0，即a+m-（b+m）＜0，所以a+m＜b+m.

不等式性质2的证法：因为a＜b，所以a-b＜0.又m＞0，所以m（a-b）＜0（依据：异号两数相乘，符号为负），所以ma-mb＜0.所以ma＜mb.

不等式性质3的证法：因为a＜b，所以a-b＜0.又n＜0，所以n（a-b）＞0（依据：同号两数相乘，符号为正），所以na-nb＞0.所以na＞nb.

说明：以上验证或证明可结合班情、学情进行链接选学，待学生理解并确认之后给出不等式性质的文字、符号表达方法，形成板书.

教学环节（三） 初步运用，步步有据

例1 设a＞b，用“＞”或“＜”填空，并说明理由.

（1）a+3___b+3；（2）a-2019___b-2019；（3）-5a___-5b；

预设变式：设a＜b，用“＞”或“＜”填空，并说明理由.

（1）a+1___b+1；（2）2a-2019___2b-2019；（3）3-5a___3-5b；（4）-

教学组织：安排学生先独立思考，再在小组内交流，并大组汇报.展示交流时，教师先示范口答的格式.如“例1（3），根据不等式性质3，不等式两边同时乘负5，不等式的方向改变，所以答案是-5a＜-5b”.再如变式（4）的口答格式，“先由不等式性质2，不等式两边同时除以5，再由不等式性质1，不等式两边同时减去，不等式方向都不改变”.教师示范之后，对于每道小题，至少安排2～3个学生复述.一方面，可以让学生进一步熟悉不等式的性质；另一方面，可以促进学生区别等式性质与不等式性质的不同表达方式，这里并不是简单的机械重复的教学行为.

教学环节（四） 课堂小结，参与究错

小结问题1：本课所学习的不等式性质与等式性质有怎样的关系？你是如何理解的？在小组内举例交流.

小结问题2：运用不等式性质解以下几个简单的不等式：

教学组织：解答展示时，需要讲出具体的方法或步骤.

小结问题3：小安提出一个命题，若x＜2，则ax＜2a.

请判断小安的命题是真命题还是假命题，并说明理由.

教学组织：先让学生独立思考，然后由学生评价这种解法，并进行优化改进，指出需要分类讨论，这可以促进学生对不等式性质的深刻理解.

二、教学立意的进一步阐释

（一）深入研读教材，充分想清教材导入语的用意

本课例在开课阶段的过渡语虽然简短，但是忠实于教材，是因为想清了教材导入的意图，也就是为什么要研究不等式的性质这个知识点：是因为解不等式时需要考虑的算理、依据就是不等式的性质，所以需要研究.如果我们忽略教材导入语的价值，认为它可有可无，则可能忽略它，从而采用其他新知导入方式.可见，不同的导入方法，背后往往体现了教者研究教材的深度与角度.

（二）针对班级学情，追求深度教学，发展核心素养

在上面的课例中，考虑到班级学情整体较好，我们不想在不等式性质的应用上加大题量进行机械训练，降低学生学习兴趣，让一些优秀学生处于空转状态.所以预设了带领学生一起理解不等式性质的证明.这是对教材上简单的一些数据演算、发现规律、归纳性质的必要补充，让优秀学生理解数学，懂得学习数学需要从实验发现走向一般证明.现在大家都在倡导数学育人，发展学生核心素养，我们认为，用有数学味儿的内容来促进学生理解数学，学会研究数学，用数学的套路来研究数学，正是发展学生核心素养的重要方式.

（三）重视示范引领，通过学生不断复述巩固新知

不管如何重视“以学为中心”“学生为主体”，但是“关注教”“研究教”是永不过时的，也是十分必要的，教与学的研究不可偏废.在本课例中，关于不等式性质的一般证明，需要教师的启发式讲授来节约课堂教学时间，而在应用不等式性质时，教师的示范引领作用非常关键，我们通过先示范讲解解题方法，在学生倾听理解之后，安排多名学生连续复述解题步骤，这个过程十分必要、非常有效.一方面，可以让学生对不等式性质的文字表达更加熟悉；另一方面，促进学生理解不等式变形过程中的步步有据.事实上，有了这样的过程，在不等式性质发现和归纳之后，就不需要安排学生读记、背诵的环节（相比后面讲解变形步骤，数学上使用读背的方式容易让学生厌烦），因为数学是需要理解和运用的.