杨 帆 刘 岑 张红卫 刘 兵 范有雄 刘小宁

(1.武汉软件工程职业学院 机械工程学院 湖北 武汉：430205；2.湖北轻工职业技术学院 机电工程学院 湖北 武汉：430070)

在食品、医药、卫生、医疗领域以及工业与民用热交换器中，经常采用外直径为Φ7.00～Φ12.70的小直径软态TP2铜管输送有一定工作压力的液体或气体；为保证铜管强度的安全，计算其爆破压力必须准确。

铜光管与铜内螺纹管是小直径软态TP2铜管常见的两种结构，这两种结构铜管爆破压力的同质性，是指在相同条件时，其爆破压力试验数据的波动在允许范围内，并能真实反映软态TP2铜材相应性能的性质。显然，同质性不但是两种结构铜管爆破压力能否采用同一公式计算的前提[1-3]，而且还是两种结构铜管爆破压力概率分布分析的基础[4-8]。目前尚未见到对不同结构小直径软态TP2铜管爆破压力同质性的研究。

文中以外直径为Φ7.00～Φ12.70的小直径TP2铜光管与铜内螺纹管为研究对象，分别将其实测爆破压力与中径公式计算值之比视为随机变量，基于27组不同结构铜管实测爆破压力[3]的有效性分析[9-11]，应用概率论与数理统计理论方法[12-13]，研究了两种结构小直径TP2铜管爆破压力的同质性。

1 基本理论与方法

1.1 具有统计性质随机变量的构建

1.1.1 小直径TP2铜管爆破压力计算公式

假设小直径软态TP2铜光管与铜内螺纹管的爆破压力具有同质性，对于爆破压力不受端部结构影响的长铜管[14-16]，用中径公式计算其爆破压力[3]：

(1)

式中，u为铜管爆破压力的中径公式计算值，MPa；Rm为铜材抗拉强度的均值，MPa；K为铜管径比的均值，K=D0/Di；Di、D0分别为铜管内、外直径的均值，mm。

1.1.2 构建具有统计性质的随机变量

构建如下具有统计性质的随机变量

(2)

式中，p为小直径TP2铜管爆破压力的实测值，MPa；r为具有统计性质的的随机变量。

1.2 统计量及其有效性

通过试验可得到相同结构小直径TP2铜管爆破压力的n组实测数据pi(1≤i≤n)，根据式(1)可得到爆破压力的中径公式计算值ui(1≤i≤n)，对应的统计量由式(2)可得：

(3)

式中，ui为采用中径公式算得的第i个小直径TP2铜管爆破压力，MPa；pi为第i个小直径TP2铜管爆破压力的实测值，MPa；ri为统计量。

对n组爆破压力实测数据进行统计，可得到统计量的平均值与精密度：

(4)

(5)

应用数理统计中的t分布是判别统计量有效性的基本方法[9-11]，在双侧置信度为(1-α)时，由t分布性质和实测数据组数n，可确定判别统计量有效性的t分布系数tn-1,0.5α，文中所用的t分布系数见表1[12-13]。

表1 有关分布系数

判别ri有效性的指标为[14-17]：

(6)

若

|ti|>t0.5α,n-1

(7)

表明ri不是有效统计数据，需要剔除；应从统计数据ri的最小值或者最大值开始剔除无效数据，每剔除1个无效数据，都必须计算其余数据的平均值与精密度，再判别其余数据的有效性；若有m个有效数据，则最后按式(4)与式(5)，重新计算m个有效数据的平均值与精密度。

若

|ti|

(8)

表明ri是有效统计数据。

文中取α=0.05，即在双侧置信度为95%时分析统计量的有效性，表明有95%把握认为剔除的无效数据是意外因素影响而形成的。

1.3 不同结构铜管爆破压力的同质性

对于小直径软态TP2铜光管(结构A)，具有统计性质的随机变量

式中，pA为小直径软态TP2铜光管(结构A)实测爆破压力，MPa；u为采用中径公式算得的小直径TP2铜光管(结构A)爆破压力，MPa。

通过试验，如果获得小直径软态TP2铜光管(结构A)爆破压力pA的nA组有效试验数据pAi(i=1，2，…，nA)，不难得到pA的统计量：

式中，pAi为小直径软态TP2铜光管的第i个有效实测爆破压力，MPa；uAi为采用中径公式算得的小直径TP2铜光管的第i个爆破压力，MPa；rAi为小直径TP2铜光管的第i个爆破压力与中径公式计算值之比。

对nA组有效实测爆破压力数据进行统计，可得到统计量的平均值与精密度：

(9)

(10)

对于小直径软态TP2铜内螺纹管(结构B)，具有统计性质的随机变量

式中，pB为小直径软态TP2铜内螺纹管(结构B)实测爆破压力，MPa；uB为采用中径公式算得的小直径TP2铜内螺纹管(结构B)爆破压力，MPa。

通过试验，如果获得小直径软态TP2铜内螺纹管(结构B)爆破压力pB的nB组有效试验数据pBi(i=1，2，…，nB)，不难得到pB的统计量：

式中，pBi为小直径软态TP2铜内螺纹管的第i个有效实测爆破压力，MPa；uBi为采用中径公式算得的小直径TP2铜内螺纹管的第i个爆破压力，MPa；rBi为小直径TP2铜内螺纹管的第i个爆破压力与中径公式计算值之比。

对nB组有效实测爆破压力数据进行统计，可得到统计量的平均值与精密度：

(11)

(12)

假设rA与rB都是基本符合正态分布的随机变量，其均值分别为μA与μB，标准差分别为σA与σB。小直径软态TP2铜光管(结构A)爆破压力与铜内螺纹管(结构B)爆破压力同质性的判据为：

μA≈μB，σA≈σB

(13)

即rA与rB的均值与标准差分别无显著差异。

1.3.1 标准差无显著差异的判别

数理统计中的F分布，是比较标准差σA与σB是否存在显著差异的工具，比较依据为[17-18]：

(14)

若

F1-0.5α,nA-1,nB-1≤F≤F0.5α,nA-1,nB-1

(15)

表明在双侧置信度为(1-α)时的标准差σA≈σB，即标准差σA与σB无显著差异。

其中

取α=0.02，文中所用的F分布系数见表1[12-13]。

1.3.2 均值无显著差异的判别

数理统计中的t分布也是比较均值μA与μB是否存在显著差异的工具。假设σA≈σB，则均值μA与μB是否存在显著差异的比较依据为[17]：

(16)

其中

(17)

若

|t|≤tnA+nB-2,0.5α

(18)

表明在双侧置信度为(1-α)时的μA≈μB，即均值μA与μB无显著差异。

取α=0.02，文中所用的t分布系数见表1[12-13]。

1.3.3 评价

当均值μA与μB和标准差σA与σB满足式(13)时，表明rA与rB概率分布相同，rA与rB的分布规律一样和分布参数相同，即小直径软态TP2铜光管与铜内螺纹管的爆破压力具有同质性。

1.4 概率分布

由以上分析可知，可将小直径软态TP2铜光管与铜内螺纹管的有效爆破压力合并，研究随机变量r的概率分布，概率分布包括两个内容，一是分布规律，二是分布参数。

1.4.1 分布规律

基于合并的同质性试验数据，可采用假设检验的方法[17-19]，分析随机变量r的分布规律。

1.4.2 分布参数

①均值的取值区间。双侧置信度为(1-α)时，r的均值μ的取值区间为：

μ∈[μmin，μmax]

(19)

其中

(20)

(21)

式中，μmin与μmax分别为均值μ在双侧置信度为(1-α)时的下限与上限；t0.5α，n-1为t分布系数，由自由度(n-1)与0.5α查得。

本文取α=0.02，所用的t分布系数见表1。

②标准差的取值区间。双侧置信度为(1-α)时，r的标准差σ取值范围为：

σ∈[σmin，σmax]

(22)

其中

(23)

(24)

本文取α=0.02，所用的χ2分布系数见表1。

③变异系数的取值范围。双侧置信度为(1-α)时，r的变异系数C取值范围为：

C∈[Cmin，Cmax]

(25)

其中

Cmin=σmin/μmax，Cmax=σmax/μmin

(26)

式中，Cmin与Cmax分别为C在双侧置信度为(1-α)时的下限与上限。

2 试验数据与统计量的有效性

有关单位利用材质为软态TP2、外直径为Φ7.00～Φ12.70、径比为1.0601～1.1724的不同结构铜管进行室温液压爆破试验。

对于小直径软态TP2铜光管，获得15组爆破压力试验数据，现将爆破试验数据列入表2，表2中序号12～15的铜光管爆破口出现在钎焊处。现将与爆破试验数据pAi及统计值rAi也列入表2。对于小直径软态TP2铜内螺纹管，获得了12组爆破压力试验数据pBi，现将其及统计值rBi列入表3。

表2 铜光管(A)爆破压力试验数据与统计量

表3 铜内螺纹管(B)爆破压力试验数据与统计量

2.1 铜光管

取试验数据有效性的双侧置信度为95%时，对于15组铜光管试验数据，统计值的最小值为表2中序号第15的试验数据r15=0.7242，用式(3)与式(4) 可知判据|t15|= 2.397>t14,0.025=2.145，因此，第15号数据无效。对余下14组铜光管统计值重新计算平均值与精密度，统计值的最小值是表2中序号为第14的试验数据r14=0.7496，再次用式(3)与式(4)可知，|t14|=2.992>t13,0.025=2.160，因此，序号为14的数据无效。对其余的13组铜光管统计值再次计算平均值与精密度，用式(3)与式(4)可知，13组试验数据统计值均有|ti|

表4 铜光管(A)统计量的平均值与精密度

2.2 铜内螺纹管

对于表3中序号为1～12的12组铜内螺纹管试验数据，统计值的最小值是序号为第12的试验数据r12=0.8240，用式(3)与式(4)可知判据|t12|=2.612>t11,0.025=2.201，因此，第12组数据无效。对余下的11组铜内螺纹管试验数据再次计算平均值与精密度，用式(3)与式(4)可知，表3中序号为1～11的11组试验数据统计值均有|ti|

表5 铜内螺纹管(B)统计量的平均值与精密度

研究表明，钎焊加热可使焊缝附近的铜管材料退火，严重时会产生过热和过烧，导致铜管爆破压力降低[3]；文中剔除的是3组爆破压力过低的无效数据，笔者认为是过热和过烧造成的，因此，过热和过烧导致铜管爆破压力降低的现象，应引起学术界与工程界的高度重视。

3 同质性分析

3.1 标准差

对于小直径软态TP2铜光管与铜内螺纹管，其有效爆破压力的统计值见表4与表5，由式(14)可得到标准差的比较依据：

根据表1，F0.99,12,10=0.206，F0.01,12,10=5.11，显然F满足式(15)，即0.206≤F≤5.11，表明在双侧置信度为98%时标准差σA≈σB，即σA与σB无显著差异。

3.2 均值

由于σA与σB无显著差异，由式(17)可得：

=0.04220

由式(16)可得到均值的比较依据：

根据表1，t0.02, 22=2.183，显然t满足式(18)：|t|=0.2834

3.3 同质性评价

根据以上分析，在双侧置信度为98%时，有μA≈μB与σA≈σB，满足式(13)，即rA与rB具有相同的概率分布，故小直径软态TP2铜光管与铜内螺纹管的爆破压力具有同质性。因此，采用中径公式计算铜光管与铜内螺纹管的爆破压力合适。

从以上分析还可知，与铜光管相比，内螺纹对小直径软态TP2铜管爆破压力的影响不明显。

4 概率分布

4.1 分布规律

分布规律假设检验的基本方法见[4-8，19-23]。

4.1.1rA与rB的分布规律

①假设随机变量rA与rB基本符合正态分布。rA与rB分别有13组与11组有效统计数据，因1+3.3lg13= 4.67与1+3.3lg11=4.44，故将其分别分为5个区间。

②计算皮尔逊统计量之和。rA与rB每个区间实际频数与理论频数差异的皮尔逊统计量之和见表6。

表6 rA与rB的皮尔逊统计量

③检验。由于rA与rB的自由度都为f=5-1-2=2，取显著度δ=0.05，皮尔逊统计量的允许值由表1得：

4.1.2 r的分布规律

①同质性有效数据的合并。由于小直径软态TP2铜光管与铜内螺纹管的有效爆破压力是同质的，因此，可将铜光管与铜内螺纹管有效爆破压力的统计值合并，见表7。

表7 铜光管与铜内螺纹管统计量的平均值与精密度

4.2 分布参数

4.2.1rA的分布参数

双侧置信度为98%时，基于表4数据，由式(19)～式(21)可得rA均值μA的取值区间：

μA∈[0.9428，1.0120]

(27)

由式(22)～式(24)可得rA标准差σA的取值范围：

σA∈[0.02652，0.07186]

(28)

将式(18)与式(19)代入式(25)与式(26)，可得rA变异系数CA的取值范围：

CA∈[0.02621，0.07622]

(29)

4.2.2rB的分布参数

双侧置信度为98%时，基于表5数据，由式(19)～式(21)可得rB均值μB的取值区间：

μB∈[0.9367，1.0279]

(30)

表8 r的皮尔逊统计量

由式(22)～式(24)可得rB标准差σB的取值范围：

σB∈[0.02989，0.09002]

(31)

将式(18)与式(19)代入式(25)与式(26)，可得rB变异系数CB的取值范围：

CB∈[0.02907，0.09611]

(32)

4.2.3r的分布参数

双侧置信度为98%时，基于表7数据，由式(19)～式(21)可得r均值μ的取值区间：

μ∈[0.9641，1.0083]

(33)

由式(22)～式(24)可得r标准差σ的取值范围：

σ∈[0.03153，0.06373]

(34)

将式(18)与式(19)代入式(25)与式(26)，可得r变异系数C的取值范围：

C∈[0.03127，0.06610]

(35)

4.2.4 关于分布参数的讨论

根据以上分析，随机变量rA与rB具有同质性，但是，从式(27)～式(35)可知，rA与rB的分布参数取值区间存在一些差别，可认为这是有效试验数据的差异造成的。另外，利用两个正态随机变量分布参数的比较方法[20]，可知随机变量rA与rB的分布参数取值区间无显著差异。

由于随机变量rA与rB具有同质性，将其有效试验数据合并，得到随机变量r的分布参数取值区间，比较式(27)～式(35)，即分析rA、rB与r分布参数的取值区间，可以发现r分布参数的取值区间是最优的。

5 结论

应用数理统计理论与方法，建立了小直径软态TP2铜光管与铜内螺纹管爆破压力同质性的分析方法，基于24组有效实测爆破压力数据，得到如下结论。

1)不考虑端部结构的影响，文中两种结构小直径软态TP2铜光管与铜内螺纹管的爆破压力具有同质性，内螺纹对小直径软态TP2铜管爆破压力的影响不明显，可用中径公式计算铜光管与铜内螺纹管的爆破压力。

2)在显著度为0.05时，小直径TP2铜管24组有效爆破压力的实测值与中径公式计算值之比，是基本符合正态分布的随机变量；在双侧置信度98%时，该随机变量的均值位于0.9641与1.0083之间，标准差位于0.03153与0.06373之间，变异系数位于0.03127与0.06610之间。