殷玫

摘要：极限是微积分的基石，两个重要极限公式是极限运算的重点和难点，又是基本初等函数导数公式导出的理论依据。教师在教学实践中发现，学生运用两个重要极限公式的过程中，发生了认识上的误区和使用上的困难。因此，在教学上通过具体的实例，引导学生分析错误所在及寻找解决问题的对策：从函数的两要素出发，采用“先满足公式的形式，然后再平衡”的原则，帮助学生解决极限中遇到的困难。

关键词：拓展;应用;两个重要极限公式

Abstract：Limit is the foundation of differential calculus.Two important limit formulas are key and difficult points of limit calculus.They are also the theoretical basis for the derivation of the basic derivative formula of elementary functions.In the teaching practice，the teachers find that the students have some misunderstandings and difficulties in using the two important limit formulas.Therefore，through concrete examples in teaching，the students are guided to analyze where the mistakes are and how to solve the problems：starting from the two elements of the function，The principle of"Satisfy the formula first and then balancing it"is adopted to help students solve the difficulties encountered in the limit.

Key words：expansion;application;two important limit formulas.

高等数学微积分知识的学习，都是围绕着函数的概念展开而进行的学习。因此，函数概念应该贯穿在微积分各知识点的教学过程之中。函数的连续性、函数的可导向性、函数的可积性都是由函数的极限来定义的，作为函数极限的两个重要极限公式，毋庸置疑，在微积分知识的学习中占有重要的地位。

一、对两个重要极限公式的认识

1.极限是微积分的基石。微分运算实际上就是导数运算，积分运算是导数的逆运算，而导数是由极限来定义的。因此，极限是微积分的基石。两个重要极限公式，它是导出微积分的导数公式的理论依据。由公式

可以直接推导出三角函数和反三角函数求导公式。由公式

可以推导出对数函数、指数函数、幂函数的导数公式。这样，就可以推导出基本初等函数的十六个导数公式。

2.学生认识上的误区。公式

在运用时，学生时常会出现：只注重公式的外表即函数表达式，没有重视其“内涵”即自变量的变化趋势，从而造成公式使用错误;机械的背公式，缺乏对其正确理解，错误的认为在公式使用时，只是在自变量趋于零时方可使用。出现两个认识上的误区：

（1）公式的运用中，自变量x只能是趋于零。

（2）函数表达式只要满足公式形式，不论自变量x是在什么变化过程中，其极限的值都是1。

公式

在运用时;（1）学生对函数表达式化为公式形式感到困难。（2）对自变量的变化过程不能灵活的变换，比较教条。因此，教师在这两个重要极限公式的教学时，既要重视公式的外表，即“对应法则”，又要重视公式的“内涵”，即自变量变化过程。也就是说两重要极限公式的运用，关键要抓住函数的两要素。而函数的二要素学生比较熟悉而且容易掌握，于是，在此寻找突破口，突破难点，突出重点。这样，帮助学生在学习遇到困难时，要学会化繁为易的数学思想和方法，让学生在轻松的学习情绪下去探索和研究数学知识。

二、依托函数概念，拓展与应用两个重要极限公式

针对学生出现认识上的误区，教师在教学时必须采取有效措施，消除学生在学习上错误认识。众所周知，事实胜于雄辩。我们可以通过具体的实例来剖析问题所在，并且寻找解决问题的对策。

1.公式

的拓展与应用

例1.求下列函数的极限

解：（1）令t=x-a，则当x→a时，t→0

原式

（2）令t =

，则当x→∞时，t→0

原式

在此引导学生观察其两个函数极限的特征：

两题目中自变量x的变化趋势都不是公式中的x→0，它说明了运用公式时，自变量x的变化趋势，既可以是x→a，也可以x→∞。

（2）观察函数表达式的特征，即函数对应法则的特征，可以描述为

。

由此可知，重要公式

只要从函数的二要素：对应法则、定义域下的自变量的变化过程这两个方面，去检索并验证。同时，公式可以推广为

（1）形式。

如何正确的理解和灵活的运用拓展后的公式呢？

由函数的概念，我们知道，函数有两要素：定义域和对应法则。

当定义域和对应法则一旦确定，函数的性質就随之确定了。因此重要极限公式（1）的正确运用，其关键要看自变量的变化过程和对应法则是否满足公式的条件：

1）定义域下自变量的变化过程：不论自变量x是在什么过程中变化，必须保证φ（x）→0（即φ（x）是无穷小量）。这样，避免讨论自变量的各种变化过程，以达到了化繁为易的目的，并且快速掌握运用公式的要点，减轻了学生学习的负担。