吴霄翔 洪乾坤

（浙江同济科技职业学院，浙江 杭州 311231）

0 引言

传统优化设计的目标通常为结构重量最小化，寻求满足各种性能要求的最优尺寸设计值。然后根据经验给定结构构件尺寸的制造公差，要求控制构件尺寸在允许的偏差范围内[1]。但是几何误差结合结构中其它存在的不确定性因素（如荷载变化，材料性能退化等），势必会对结构性能产生扰动，影响可靠性，目前，这方面的研究相对较少。因此关于公差对结构可靠性的影响研究具有重要的理论意义和工程实践价值。

本文研究可靠性指标的求解策略，利用悬臂梁结构进行可靠性指标的迭代计算，通过优化算例计算各种公差下结构的可靠性指标，揭示公差对于结构可靠性的重要影响，为构件制造和实际工程设计提供参考依据。

1 结构可靠性指标

1.1 可靠性方法

可靠性优化设计的目标是提高结构的设计质量，减小结构破坏的可能性，即保证结构的安全性能在可承受的范围之内。对于一般问题的概率可靠度分析，大多依据国际安全度联合委员会推荐的一次二阶矩法，而目前被广泛应用于求解可靠度指标的是由Rackwitz和Fiessler[2]在1977年提出的一次二阶矩方法中的验算点法（又称HL-RF方法），

将随机变量转换为标准正态分布变量u。采用下列标准化方法将区间变量y转化为0至1区间分布的标准化变量q，

1.2 概率可靠性指标

结构可靠度指标β的几何意义：在标准u空间中，功能函数面g(u)=0上寻找一点u，使其与坐标原点的距离最短，由此，可以得到可靠性指标计算的优化模型为

图1 可靠性指标迭代示意图

于是，计算可靠性指标β转化为求解最短距离的问题，求解这一优化问题可采用一次二阶矩的HL-RF方法，可靠性指标的迭代计算采用如下所示公式：

2 公差对结构可靠性的影响

传统优化设计方法先确定尺寸参数的最优设计值，再根据经验给出尺寸公差的绝对值或相对值，我们模拟传统优化设计的思路，利用悬臂梁进行考虑公差的结构可靠性指标计算，揭示其影响。

图2所示的某圆截面悬臂梁，各参数如下：悬臂梁长度为L=100cm，材料密度，其自由端受到向下荷载F的作用，材料弹性模量为E，假定F、E为2个随机变量，描述为：F、E均属于正态分布随机表量，其均值分别取Fu=100N、Eu=10MPa，标准差为均值的5%。

假定悬臂梁自由端竖向位移大于0.15cm时，结构失效，因此极限状态方程可定义为

图2 悬臂梁结构图

2.1 确定性优化（DDO）

在进行传统确定性优化设计时，不考虑材料性能、载荷等不确定性因素的影响，优化设计中，选取圆截面悬臂梁直径d作为设计变量，取2cm为设计初始值，10cm和0.01cm分别为上下限，以圆截面悬臂梁结构材料重量最小化为目标，优化数学模型可描述为：

式中，d为设计变量，f(d)为目标函数，dL和dU分别是设计变量的上下限。

计算得到最优尺寸设计值为4.61cm，然后我们给出直径尺寸的绝对制造公差，为比较制造公差对结构可靠性的影响，给出若干组数据，假定绝对制造公差为Δ=(0,0.1,0.2,,1 )，结合其他不确定因素，计算得到结构的失效概率如表1所示。从表中可以看出，公差对确定性优化的结构安全性有很大影响，会导致结构普遍失效。

表1 DDO失效概率

2.2 概率可靠性优化（RBDO）

在概率可靠性优化设计中，考虑材料性能、载荷等不确定性因素的影响，其他条件均不变，设定结构概率可靠性指标下限为，优化数学模型描述为：

式中，βm[g(d)≥0]为功能函数(d)≥0要求下的概率可靠性指标，为预先给定的可靠性指标下限值。

计算得到最优尺寸设计值为4.78cm，然后我们给出尺寸的绝对制造公差，为比较制造公差对结构可靠性的影响，给出若干组数据，假定绝对制造公差为△=(0,0.1,0.2,L,1)，结合材料性能、载荷等其他不确定因素，计算得到结构的失效概率如表2所示。从表中可以看出，公差对进行传统概率可靠性优化的结构安全性有较大影响，若人为给出的制造公差较大，会导致结构失效。

表2 RBDO失效概率

图3 失效概率与公差的关系

3 结语

根据确定性优化（DDO）及概率可靠性优化（RBDO）的指标和概率数据，绘制如图3所示的曲线图。由图可知，若采用传统的优化设计方法（DDO和RBDO），人为给出的制造公差结合其它不确定性因素，将严重影响结构的安全性能，甚至导致失效，因此，在设计阶段即确定结构设计参数的最佳尺寸及其合理公差，使其既能满足结构的可靠性要求，又使得结构重量或者成本最小化。